MIT 18.03：微分方程

一阶常微分方程

形如：

$$y^{\prime}=f(x,y)$$

方向场（作图法）

在平面上取一些点，画短斜线（线素），斜率 = $f(x,y)$，积分曲线（常微分方程的解）为穿过平面每一处与线素相切的曲线。

计算机实现方法

1. 等距取一些点 $(x,y)$
2. 计算各点斜率 $f(x,y)$
3. 画出线素

人类做法

1. 取某个固定的斜率 $C$
2. 作出 $f(x,y) = C$ 的等值线
3. 画出等斜线上一些线素

存在性与唯一性定理

$f(x,y)$ 必须是连续函数（存在性），其对 $y$ 的偏导连续（唯一性）

欧拉法

初值问题：

$$\begin{cases} y^{\prime}=f(x,y) \\ y(x_0)=y_0 \end{cases}$$

公式如下：

$$\begin{cases} x_{n+1}=x_n+h \\ y_{n+1}=y_n+hA_n\\ \end{cases} \begin{aligned} \text{其中：}&A_n=f(x_n,y_n)\\ &h \text{为取点间隔} \end{aligned}$$

下面是几种优化方法：

缩短步长

误差 $e ∼ c_1h$

RK2

$$\begin{cases} x_{n+1}=x_n+h \\ y_{n+1}=y_n+h(\frac{A_n+B_n}{2})\\ \end{cases} \begin{aligned} \text{其中：}&A_n=f(x_n,y_n)\\ &B_n=f(x_{n+1},\tilde{y}_{n+1})\\ &\tilde{y}_{n+1}=y_n+hA_n \end{aligned}$$

误差分析：$e∼c_2h^2$

精度提高的代价是计算量增大。

一阶线性常微分方程

形式：

$$a(x)y^{\prime}+b(x)y=c(x)$$

标准形式：

$$y^{\prime}+p(x)y=q(x)$$

积分因子法求解

两边同乘 $u = e^{∫ p\mathrm{d}x}$，将等式左边凑成某函数的导数。

几个模型

温度——浓度模型

混合模型

放射性衰变、银行存款

某些运动模型

传导——扩散模型（温度——浓度模型）

$$\frac{\mathrm{d}T}{\mathrm{d}t} = k(T_e-T), k > 0, T(0) = T_0$$

同乘 $e^{kt}$，得到

$$T = e^{-kt}∫ kT_e(t)e^{kt}\mathrm{d}t + ce^{-kt}, c = T_0, k > 0$$

当 $t→∞, ce^{-kt}→ 0$，从长远来看，与初始状态无关，前面剩下来的部分称为“稳态解”

换元法

缩放：$x_1=\frac xa, y_1=\frac yb$

好处：

• 改变单位
• 使变量无纲量化（不带单位）
• 减少或简化常数

两种变量代换方法： 直接法：旧变量 = 新变量 逆代换：旧变量 = 新变量和另外的旧变量

伯努利方程

$$y^{\prime}=p(x)y+q(x)y^n(n≠0)$$

令 $V = \frac{1}{y^{n-1}}$（直接代换），可得 $\frac{V^{\prime}}{1-n}=p(x)V+q(x)$，转化为了线性方程

一阶齐次常微分方程

$$y^{\prime} = F(\frac yx)$$

注：“齐次”指某方程对缩放不变

方法：令 $z = \frac yx$，将 $y = zx$ 代入（逆代换），可得

$$x\frac{\mathrm{d}z}{\mathrm{d}x}=F(z)-z$$

一阶自治方程

$$\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t}=f(y) \text{，f(y)中不含 t}$$

分析其解的性质

若 $f(y_0) = 0$，则 $y = y_0$ 是方程的一个解$$

若 $f(y) > 0$，则 $\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t} = f(y) > 0$，即解函数递增

银行存款模型

$$\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t}=ry-w$$

$r$ 是利率，$w$ 是被偷走的钱

复数和复指数

欧拉公式

$$e^{iθ}=\cosθ+i\sinθ$$

逆用：

$$\cos(θ)=\frac{e^{iθ}+e^{-iθ}}{2}$$

$$\sin(θ)=\frac{e^{iθ}-e^{-iθ}}{2i}$$

指数性质：

1. $e^{iθ_1}⋅e^{iθ_2}=e^{i(θ_1+θ_2)}$
2. $\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}e^{iθ}=ie^{iθ}$
3. 无穷级数（泰勒公式）

极坐标

$$e^{a+ib}=re^{iθ}$$

$r$ 为 $α$ 的模，$θ$ 为 $α$ 的夹角

其乘法满足“模长相乘，角度相加”的法则

积分的复化

$$∫ e^{-x}\cos x \mathrm{d}x=\int e^{(-1+i)x}\mathrm{d}\text{x 的实部}$$

一阶常系数线性方程

$$y^{\prime}+ky=kq(t)$$

“输入——响应”模型：
输入：$q(t)$
响应：$y(t)$（微分方程的解）

$$y=e^{-kt}∫ q(t)e^{kt}\mathrm{d}t+ce^{-kt}$$

当 $k > 0$ 时，有稳态解

若 $q(t) = \cos(ωt)$，则 $y=\frac{1}{\sqrt{1+(\frac ωk)^2}}\cos(ωt-ϕ), ϕ=\arctan(\frac ωk)\text{（相位差），k为传导率}>0$

若 $k$ 增大，振幅 $A$ 增大，相位差 $ϕ$ 减小

二阶线性方程

二阶常系数齐次线性方程

$$y^{\prime \prime} + Ay^{\prime} + By = 0$$

其解 $y = c_1y_1 + c_2y_2$

解法： 令 $y = e^{rt}$，得到 $r^2 + Ar + B = 0$

有三种情况：

1. 方程根 $r_1, r_2$ 为实数，且 $r_1 ≠ r_2$，则 $y = c_1e^{rt_1} + c_2e^{rt_2}$
2. 根为复数，$r = a ± bi$，则 $y = e^{(a+bi)t}$
3. 方程有两个相同的根（重根），第二个解 $y_2 = ue^{rt}$

当所有特征根有负实部时，有稳态解

振荡模型

$$y^{\prime \prime} + 2py^{\prime} + ω_0^2y = 0$$

$ω$ 为固有的振荡频率，$p$ 与阻尼有关

无阻尼

若 $p = 0$，即“无阻尼”的情况，则方程简化为：

$$y^{\prime \prime} + ω_0^2y = 0$$

解得：

$$y = c_1\cosω_0t + c_2\cosω_0t = A\cos(ω_0t - ϕ)$$

欠阻尼

若 $p < ω_0$，即“欠阻尼”的情况，则解得：

$$y = e^{-pt}A\cos(ω_1t-ϕ)$$

其中 $p = \frac{c}{2m}$，$ω_1=\sqrt{ω_0^2-p^2}$，$A$ 和 $ϕ$ 取决于初始情况

二阶齐次线性方程相关理论

$$y^{\prime \prime} + p(x)y^{\prime} + q(x)y = 0$$

线性算子

用 $\mathrm{D}$ 表示求导，可记作：

$$(\mathrm{D}^2 + p\mathrm{D} + q)y = 0$$

其中 $L = \mathrm{D}^2 + p\mathrm{D} + q$ 是线性算子

朗斯基行列式

$$W(f_1, ⋯, f_n)= \begin{vmatrix} f_1 & ⋯ & f_n\\ ⋮ & ⋱ & ⋮\\ f_1^{(n-1)} & ⋯ & f_n^{(n-1)} \end{vmatrix}$$

对于二阶齐次线性微分方程而言，其两个解只能满足两种情况之一：

• $W(y_1,y_2) ≡ 0$
• W(y_1,y_2) \nequiv 0

正交化

要求满足 $\begin{cases} Y_1=1 & Y_2=0 \\ Y_1^{\prime}=0 & Y_2^{\prime}=1 \end{cases}$

若 $Y_1,Y_2$ 正交，则其初值问题的解为 $y_0Y_1 + y_0^{\prime}Y_2$，其中 $y(0) = y_0, y^{\prime}(0) = y_0^{\prime}$

二阶非齐次线性方程

$$y^{\prime \prime} + p(x)y^{\prime} + q(x)y = f(x)$$

$f(x)$ 为输入，$y(x)$ 为响应

其解的结构为“特解”+“通解”，表示如下：

$$y = y_p + c_1y_1 + c_2y_2$$

输入为指数函数或三角函数时

$$p(\mathrm{D})y = e^{αx}$$

$p(\mathrm{D})$ 为关于 $\mathrm{D}$ 的多项式

特解为：

$$y_p = \frac{e^{αx}}{p(α)},p(α)≠0$$

若 $p(α)=0$，则指数移位法则 $p(\mathrm{D})e^{ax}u(x) = e^{ax}p(\mathrm{D} + a)u(x)$，得到

$$y_p = \frac{xe^{α}}{p^{\prime}(α)},p^{\prime}(α) ≠ 0$$

以此类推，类似于把 $α$ 视为变量的洛必达法则。

傅里叶级数

$$\begin{aligned} &f(t)=\frac {a_0}{2}+\sum_{n=1}^∞ a_n\cos nt + b_n \sin nt \\ &a_n=\frac 1π ∫_{-π}^π f(t)\cos nt \mathrm{d}t \\ &b_n=\frac 1π ∫_{-π}^π f(t)\sin nt \mathrm{d}t \end{aligned}$$

简化

若 $f(x)$ 是偶函数，则

$$\begin{aligned} &f(t) = \frac {a_0}{2} + \sum_{n=1}^∞ a_n\cos nt \\ &a_n = \frac 2π ∫_0^π f(t)\cos nt \mathrm{d}t \\ \end{aligned}$$

若 $f(x)$ 是奇函数，则

$$\begin{aligned} &f(t) = \sum_{n=1}^∞ b_n\sin nt\\ &b_n = \frac 2π ∫_0^π f(t)\sin nt \mathrm{d}t \end{aligned}$$

实质

泰勒级数在一点处逼近函数，傅里叶级数在一段区间上逼近函数。

周期扩展

若周期不是 $2π$，而是更一般的 $2L$，则

$$\begin{aligned} &f(t)=\frac {a_0}{2}+\sum_{n=1}^∞ a_n\cos nt + b_n \sin nt \\ &a_n=\frac 1L ∫_{-L}^L f(t)\cos nt \mathrm{d}t \\ &b_n=\frac 1L ∫_{-L}^L f(t)\sin nt \mathrm{d}t \end{aligned}$$

非周期函数

运用奇变换或偶变换，转化为周期函数

利用傅里叶级数求特解

若

$$f(t) = \frac {a_0}{2} + \sum_{n=1}^∞ a_n\cos ω_nt + b_n \sin ω_nt$$

则

$$x_p = \frac {a_0}{2ω_0^2} + \sum_{n=1}^∞ \frac{a_n\cos ω_nt}{ω_n^2-ω^2} +\frac{b_n \sin ω_nt}{ω_n^2-ω^2}$$

拉普拉斯变换

$$∫_0^∞f(t)e^{-st}\mathrm{d}t = F(s), s > 0$$

“算子”不改变变量：$f(t) → g(t)$

“变换”改变变量：$f(t) → F(s)$

基本公式

拉普拉斯变换是线性的

$$\mathcal{L}(1) = \frac 1s,s>0$$

$$\mathcal{L}(e^{at}f(t)) = L(f(s-a)),s>a$$

$$\mathcal{L}(\sin at) = \frac {a}{s^2+a^2}$$

$$\mathcal{L}(\cos at) = \frac {s}{s^2+a^2}$$

$$\mathcal{L}(t^n) = \frac{n!}{s^{n+1}}$$

适用条件

$f(t)$ 是“指数型”，即

对于所有 $t > 0$，总存在 $k > 0$，使得

$$|f(t)| ≤ ce^{kt}$$

用拉普拉斯变换求解线性常微分方程

初值问题：

$$y^{\prime \prime} + Ay^{\prime} + By = h(t), y(0) = y_0, y^{\prime}(0) = y^{\prime}_0$$

第一步：对两边进行拉普拉斯变换

$$\mathcal{L}(f^{\prime}(t)) = sF(s) - f(0)$$

迭代得到

$$\mathcal{L}(f^{\prime \prime}(t)) = s^2F(s) - sf(0) - f^{\prime}(0)$$

$$Y = \frac{p(s)}{q(s)}$$

第二步：对 $Y(s)$ 进行拉普拉斯逆变换

$$y(t) = \mathcal{L}^{-1}(Y(s))$$

卷积公式

$$f(t) \ast g(t) = \int_0^t f(u)g(t-u)\mathrm{d}t$$

卷积定义

$$\mathcal{L}(f \ast g) = F(s)G(S)$$

所以 $f \ast g = g \ast f$

卷积意义

每日倾倒垃圾 $f(t)$，垃圾减少的函数为 $e^{-kt}$，则 $t$ 时间后剩余 $f(t) \ast e^{-kt}$

拉普拉斯变换处理不连续函数

单位阶跃函数

$$u(t)= \begin{cases} 0 & t < 0 \\ 1 & t > 0 \end{cases}$$

$$u_{ab}(t) = u(t-a) - u(t-b)$$

t 轴平移公式

因为对于 $s < 0$ 时，多个函数对应同一个拉普拉斯变换，所以要将函数乘以一个 $u(t)$，截掉 $t < 0$ 的部分。

$$\mathcal{L}(u(t-a)f(t-a)) = e^{-as}\mathcal{L}(f(t))$$

常用的变形为：

$$\mathcal{L}(u(t-a)f(t)) = e^{-as}\mathcal{L}(f(t+a))$$

狄拉克函数

其意义为一瞬间的脉冲，表达式为：

$$δ(t) = \lim_{h\to 0} \frac 1h u_{0h}(t)$$

$$\mathcal{L}(δ(t)) = 1$$

传递函数

对于系统：

$$y^{\prime \prime} + ay^{\prime} + by = f(t)$$

其解：

$$y(t) = f(t) \ast \frac{1}{s^2+as+b}$$

其中的 $\frac{1}{s^2 + as + b}$ 只与系统有关，称之为“传递函数”或“加权函数”，记作 $W(s)$ 或 $H(s)$，本质是在 $0$ 时刻系统受到单位冲量后的响应。

常微分方程组

$$\begin{cases} x^{\prime}=f(x,y,t)\\ y^{\prime}=g(x,y,t) \end{cases}$$

常系数齐次线性方程组

$$\begin{cases} x^{\prime}=ax+by \\ y^{\prime}=cx+dy \end{cases}$$

初值问题：

$$x(t_0) = x_0, y(t_0) = y_0$$

消元法

若题目为：

$$\begin{cases} T_1^{\prime}=-2T_1+2T_2 \\ T_2^{\prime}=2T_1-5T_2 \end{cases}$$

第一步：用 $T_1$ 表示 $T_2$：

$$T_2 = \frac{T_1^{\prime}+2T_1}{2}$$

第二步：代入得到二阶方程：

$$T_1^{\prime \prime} + 7T_1^{\prime} + 6T_1 = 0$$

第三步：解得：

$$T_1 = c_1e^{-t} + c_2e^{-6t}$$

第四步：回代得到$T_2$：

$$T_2 = \frac 12 c_1e_{-t} - 2c_2e^{-6t}$$

（第五步：代入初值，解$c_1, c_2$）

几何意义

$$\begin{cases} x^{\prime}=f(x,y) \\ y^{\prime}=g(x,y) \end{cases}$$

方程组表示向量场，解为向量场的积分曲线

矩阵方法

方程组可以写成：

$$\vec{x}^{\prime} = A\vec{x}$$

则解为：$\vec{α}e^{λt}$ 的线性组合，$\vec{α}$ 为 $A$ 的特征向量，$λ$ 为相应的特征值

1. 特征方程有重根：若 $λ$ 重复，但有时仍可以找到足够数量的特征向量来构造解（如果矩阵是对称的）

2. 复根：只使用共轭复数其中的一个即可

矩阵指数

对于 $x^{\prime}=ax$，易得 $x=ce^{at}$

类比对于 $\vec{x}^{\prime} = A\vec{x}$，可得 $X = e^{At}$

初值问题：$\vec{x}(0) = \vec{x}_0$，解为 $\vec{x} = e^{At}\vec{x}_0$

特别的，对于矩阵而言，$e^{A+B} = e^Ae^B$，当且仅当 $AB = BA$ 时成立，其一般存在以下三种情况：

1. $A = cI$
2. $B = -A$
3. $B = A^{-1}$

$e^{At}$ 的计算方法：

1. 指数级数：$e^{At} = I + At + \frac{A^2t^2}{2!} + \frac{A^3t^3}{3!} + ⋯$

2. 对角化：$e^{At} = Se^{Λt}S^{-1}$

3. $X⋅X(0)^{-1} = e^{At}$

方程组解耦

详细的解释见线性代数

将方程组转化为：

$$\begin{cases} u^{\prime} = λ_1u\\ v^{\prime} = λ_2v \end{cases}$$

其中：

$$\begin{cases} u = ax + by \\ v = cx + dy \end{cases}$$

使用条件：方程特征值必须为实数且必须完备

与二阶齐次线性方程的关系

$$y^{\prime \prime} + by^{\prime} + ky = 0$$

令

$$u = \begin{bmatrix} y^{\prime} \\ y \end{bmatrix}, u^{\prime} = \begin{bmatrix} -b & -k \\ 1 & 0 \end{bmatrix}u$$

常系数非齐次线性方程组

$$\vec{x}^{\prime} = A\vec{x}+r(t)$$

线性方程组的解 = 通解 + 特解

记 $X=\begin{bmatrix}\vec{x}_1 & \vec{x}_2 \end{bmatrix}$, $\vec{x}_1,\vec{x}_2$ 是常系数齐次线性方程组的线性无关解

$X$ 有以下性质：

1. $|X| ≠ 0$ 恒成立
2. $X^{\prime} = AX$

$$\vec{x}_p = X∫X^{-1}\vec{r}\mathrm{d}t$$

非线性自治方程组及作图

$$\begin{cases} x^{\prime} = f(x,y) \\ y^{\prime} = g(x,y) \end{cases}$$

临界点

$$\begin{cases} f(x_0, y_0) = 0 \\ g(x_0, y_0) = 0 \end{cases}$$

使用线性近似或雅可比矩阵将 $(x_0, y_0)$ 处转化为线性方程，求解该点处的图像性质（鞍部、螺旋、圆、汇点）

极限环

一段相互靠近的曲线

寻找方法：

1. 本迪克松准则：在区域 $D$ 内散度均不为 $0$，则曲线在改该区域内无极限环

2. 临界点准则：在 $D$ 内无临界点，则无极限环

非线性方程组与一阶方程的关系

$$\begin{cases} \frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t} = f(x,y) \\ \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t} = g(x,y) \end{cases}$$

可转化为：

$$y^{\prime} = \frac{g(x,y)}{f(x,y)}$$

但只有曲线，没有向量大小。