线积分

标量函数的线积分

ds=d2x+d2y\mathrm{d}s=\sqrt{\mathrm{d}^2x+\mathrm{d}^2y}

方法一：若已知 y=f(x)y=f(x)，用 f′(x)dxf^{\prime}(x)\mathrm{d}x 替换 dy\mathrm{d}y，然后将 dx\mathrm{d}x 分解出来，积分的边界值将是曲线的最左边和最右边的 xx 值，即

ds=1+f′2(x)dx\mathrm{d}s=\sqrt{1+f^{\prime 2}(x)}\mathrm{d}x

方法二：参数化

使用 xx 和 yy 作为 tt 函数，取这两个函数的导数来获得以 dt\mathrm{d}t 表达的 dx\mathrm{d}x 和 dy\mathrm{d}y，即

ds=(dxdt)2+(dydt)2dt\mathrm{d}s=\sqrt{(\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t})^2+(\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t})^2}\mathrm{d}t

若 r⃗(t)=[x(t)y(t)],a≤t≤b\vec{r}(t)=\left[\begin{matrix} x(t)\\ y(t) \end{matrix}\right],a≤t≤b，则线积分为 ∫ab∣r⃗′(t)∣dt\int_a^b |\vec{r}^{\prime}(t)|\mathrm{d}t

向量场中的线积分

一条经过一个向量场的线积分的简洁表示方法为 ∫CF⋅dr\int_C F⋅\mathrm{d}r

已知 CC 的一个参数化函数 r(t)r(t) 的更精确的表示方法是

∫abF(r(t))⋅r′(t)dt\int_a^b F(r(t))⋅r^{\prime}(t)\mathrm{d}t

线积分在物理中对于计算力在一个运动物体上做的功十分有用。

如果你将曲线参数化，使其在 tt 递增时你往相反方向移动，线积分的值则乘以−1-1。

连接相同起点和终点的任意两条路径的曲线积分将是相等的。

二维空间的通量

构造曲线的单位法线向量

步骤 0: 将曲线参数化

步骤 1: 通过微分参数函数得到曲线的切线向量:

dvdt=[x′(t)y′(t)]\frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}t}=\left[\begin{matrix} x^{\prime}(t)\\ y^{\prime}(t) \end{matrix}\right]

步骤 2: 将向量旋转 90°，互换其坐标并使其中一个坐标为负。

[x′(t)y′(t)]⏟切线向量→[−y′(t)x′(t)]⏟法线向量\underbrace{\begin{bmatrix} x^{\prime}(t)\\ y^{\prime}(t) \end{bmatrix}}_{\text{切线向量}}→\underbrace {\begin{bmatrix} -y^{\prime}(t)\\ x^{\prime}(t) \end{bmatrix}}_{\text{法线向量}}

步骤 3: 将其除以其自身大小，使其变为单位法线向量:

1x′2(t)+y′2(t)[−y′(t)x′(t)]\frac{1}{\sqrt{x^{\prime 2}(t)+y^{\prime 2}(t)}} \begin{bmatrix} -y^{\prime}(t)\\ x^{\prime}(t) \end{bmatrix}

二维空间的通量

在任何存在某种流动物质（如液体）的环境中，二维通量度量通过某曲线的流速。区域边界上的通量可用于测量流体是否流入或流出该区域。

流过一条曲线 CC 的通量可以用曲线积分来计算

∫CF⋅n^ds\int_C F⋅\hat{n}\mathrm{d}s

其中 n^\hat{n} 表示一个函数，它给出曲线 CC 上每一个点处向外的单位法向量。

二重积分

给定一个二元函数 f(x,y)f(x,y)，我们可以通过对一个积分进行积分来求出这个二元函数的图形与 xy−xy- 平面上的一个长方形区域之间的体积。这就是所谓的二重积分。

∫y1y2(∫x1x2f(x,y)dx)⏟这是 y 的一个函数dy=∫x1x2(∫y1y2f(x,y)dy)⏟这是 x 的一个函数dx\int_{y_1}^{y_2}\underbrace{\Big(\int_{x_1}^{x_2}f(x,y)\mathrm{d}x\Big)}_{\text{这是 y 的一个函数}}\mathrm{d}y=\int_{x_1}^{x_2}\underbrace{\Big(\int_{y_1}^{y_2}f(x,y)\mathrm{d}y\Big)}_{\text{这是 x 的一个函数}}\mathrm{d}x

非矩形区域上的二重积分

首先将你的区域沿着对应这其中一个变量不变的切片来切割。例如，将 xx 设为一些常数将给你你的区域的垂直条形。

找出用其他变量的函数来表达这些条形界限的方法。例如，一个垂直条形的上限和下限可以表达为某些关于 xx 的函数。

当你设你的二重积分时，内部积分将对应其中一个条形的积分，并且每个界限将为一个关于外部变量的函数。如果内部积分对应常量 xx，整个二重积分可能看起来是这样的：

∫x1x2(∫y1(x)y2(x)f(x,y)dy)⏟对 x 求值dx\int_{x_1}^{x_2}\underbrace{\Big(\int_{y_1(x)}^{y_2(x)}f(x,y)\mathrm{d}y\Big)}_{\text{对 x 求值}}\mathrm{d}x

求体积以外的二重积分应用

二重积分是将一个二维区域切成无限多的小区域，每个乘以一些价值，然后把它们加起来。

二重积分更广义的表达式为 ∬RfdA\iint_R f\mathrm{d}A

其中

  • RR 是你在进行积分的区域。
  • dA\mathrm{d}A 代表"一块极小的区域"，通常是 dxdy\mathrm{d}x\mathrm{d}y，除非使用的是其他坐标系。
  • f(x,y)f(x,y) 是一个二元函数。

从这一点出发，二重积分将与多变量微积分中的大多数新主题密不可分。而在几乎所有情况下，它有助于思考在给定区域的每个"小区域" 内发生的事情，而不是考虑沿着一条线整合一些东西，然后再在垂直方向中集成。

极坐标中的二重积分

dA=rdrdθ\mathrm{d}A=r \mathrm{d}r \mathrm{d}θ

曲面积分

曲面积的积分

我们将参量空间 SS 的表面积用以下的积分来表示：

∬T∣∂v⃗∂t×∂v⃗∂s∣dtds\iint_T \bigg|\frac{∂\vec{v}}{∂t}×\frac{∂\vec{v}}{∂s}\bigg|\mathrm{d}t\mathrm{d}s

其中 SS 是以适用于 ts−ts- 坐标系中的区域 TT 的参数方程 v⃗(t,s)\vec{v}(t,s) 来描述的。

曲面积分

任何时候你觉得需要将曲面上的点相加，就可以使用曲面积分。和二维线积分基本类似。同样的，你可以认为是一种将二重积分推广到曲面积分的方式。

∬Sf(x,y,z)dΣ\iint_S f(x,y,z)\mathrm{d}Σ

计算曲面积分几乎与使用二重积分计算表面积相同，只是在对于函数积分:

∬Tf(v⃗(t,s))∣∂v⃗∂t×∂v⃗∂s∣dtds\iint_T f(\vec{v}(t,s))\bigg|\frac{∂\vec{v}}{∂t}×\frac{∂\vec{v}}{∂s}\bigg|\mathrm{d}t\mathrm{d}s

三维中的通量

曲面的单位法向量

给定一个由函数 v⃗(x,y)\vec{v}(x,y) 参数化的曲面，寻找这个曲面单位法向量表达式的步骤如下：

第一步：求 v⃗(x,y)\vec{v}(x,y) 的两个偏导数的叉积，得到法向量（不一定是单位向量）：

(∂v⃗∂t(t,s))×(∂v⃗∂s(t,s))\bigg( \frac{∂\vec{v}}{∂t}(t,s) \bigg) × \bigg( \frac{∂\vec{v}}{∂s}(t,s) \bigg)

第二步：用这个向量表达式除以它本身的长度，对它单位化：

(∂v⃗∂t(t,s))×(∂v⃗∂s(t,s))∣(∂v⃗∂t(t,s))×(∂v⃗∂s(t,s))∣\frac{\Big( \frac{∂\vec{v}}{∂t}(t,s) \Big) × \Big( \frac{∂\vec{v}}{∂s}(t,s) \Big)}{\bigg|\Big( \frac{∂\vec{v}}{∂t}(t,s) \Big) × \Big( \frac{∂\vec{v}}{∂s}(t,s) \Big)\bigg|}

三维中的通量

想象一下，将表面切割成许多小块，小到足以使每个部分都被认为是扁平的。用曲面积分将所有这些流量"加起来"，以获得作为一个整体的通量。

∬SF⋅n^dΣ\iint_S F⋅\hat{n}\mathrm{d}Σ

格林定理

∮LF⋅dr=∬D2d−curlFdA\oint_L F⋅\mathrm{d}r=∬_D 2d-curl F\mathrm{d}A

即

∮LPdx+Qdy=∬D(∂Q∂x−∂P∂y)dxdy\oint_L P\mathrm{d}x+Q\mathrm{d}y=∬_D(\frac{∂Q}{∂x}-\frac{∂P}{∂y})\mathrm{d}x\mathrm{d}y

斯托克斯定理

斯托克斯定理是格林定理的三维版本。

∮LF⋅dr=∬D3d−curlFdΣ∮_L F⋅\mathrm{d}r=∬_D 3d-curl F\mathrm{d}Σ

即

∮LPdx+Qdy+Rdz=∬D(∂R∂y−∂Q∂z)dydz+(∂P∂z−∂R∂x)dzdx+(∂Q∂x−∂P∂y)dxdy∮_L P\mathrm{d}x+Q\mathrm{d}y+R\mathrm{d}z=∬_D(\frac{∂R}{∂y}-\frac{∂Q}{∂z})\mathrm{d}y\mathrm{d}z+(\frac{∂P}{∂z}-\frac{∂R}{∂x})\mathrm{d}z\mathrm{d}x+(\frac{∂Q}{∂x}-\frac{∂P}{∂y})\mathrm{d}x\mathrm{d}y

二维散度定理

二维散度定理将通过一个区域的二维通量和散度的二重积分联系起来。

∮LF⃗⋅n^ds=∬DdivF⃗dA∮_L \vec{F}⋅\hat{n}\mathrm{d}s=∬_D \mathrm{div}\vec{F}\mathrm{d}A

∮LPdx+Qdy=∬D(∂P∂x+∂Q∂y)dxdy∮_L P\mathrm{d}x+Q\mathrm{d}y=∬_D(\frac{∂P}{∂x} + \frac{∂Q}{∂y})\mathrm{d}x\mathrm{d}y

三维散度定理

三维散度定理说的是，当你用一个三重散度积分将一个体积内所有小块向外流量加起来的时候，它会给你那块体积的总向外流量，这也可以通过测量通过其表面的通量得到。

∬LF⃗⋅n^dΣ=∭DdivF⃗dV∬_L \vec{F}⋅\hat{n}\mathrm{d}Σ=∭_D \mathrm{div}\vec{F}\mathrm{d}V