向量

向量 vectors：有方向 A⃗\vec{A} 和长度 ∣A⃗∣|\vec{A}|，表示有向线段

用分量形式表示：

A⃗=<a1,a2,a3>=a1i^+a2j^+a3k^\vec{A} = <a_1, a_2, a_3> = a_1 \hat{i} + a_2 \hat{j} + a_3 \hat{k}

∣A⃗∣=a12+a22+a32|\vec{A}| = \sqrt{a_1^2 + a_2^2 + a_3^2}

向量加法：首尾相连，平行四边形法则，对角线是 A⃗+B⃗\vec{A} + \vec{B} 和 B⃗−A⃗\vec{B} - \vec{A}，加法对分量形式也有效

点乘 dot product：

A⃗⋅B⃗=a1b1+a2b2+a3b3\vec{A} ⋅ \vec{B} = a_1b_1 + a_2b_2 + a_3b_3

几何上：A⃗⋅B⃗=∣A⃗∣∣B⃗∣cos⁡θ\vec{A} ⋅ \vec{B} = |\vec{A}||\vec{B}|\cos θ

特殊的，有 A⃗⋅A⃗=∣A⃗∣2\vec{A} ⋅ \vec{A} = |\vec{A}|^2

余弦定理的向量形式：

∣C⃗∣2=(A⃗−B⃗)2=∣A⃗∣2+∣B⃗∣2−2A⃗⋅B⃗|\vec{C}|^2 = (\vec{A}-\vec{B})^2 = |\vec{A}|^2 + |\vec{B}|^2 - 2\vec{A} ⋅ \vec{B}

应用：

  • 求长度和夹角：cos⁡θ=A⃗⋅B⃗∣A⃗∣∣B⃗∣\cos θ = \frac{\vec{A} ⋅ \vec{B}}{|\vec{A}||\vec{B}|}
  • 检测正交性：A⃗⋅B⃗=0\vec{A} ⋅ \vec{B} = 0
  • 找出一个向量的分量：如果 u^\hat{u} 是单位向量，A⃗⋅u^\vec{A} ⋅ \hat{u} 是 A⃗\vec{A} 沿 u^\hat{u} 方向的分量

行列式：

∣a1a2b1b2∣=a1b2−a2b1\begin{vmatrix} a_1 & a_2 \\ b_1 & b_2 \end{vmatrix} = a_1b_2 - a_2b_1

几何上 = ±\pm 平行四边形的面积

二维行列式的符号与 从 A⃗\vec{A} 到 B⃗\vec{B} 是逆时针还是顺时针有关

叉乘：两个空间中的向量

A⃗×B⃗=∣i^j^k^a1a2a2b1b2b3∣=i^∣a2a3b2b3∣−j^∣a1a3b1b3∣+k^∣a1a2b1b2∣\vec{A} × \vec{B} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ a_1 & a_2 & a_2 \\ b_1 & b_2 & b_3 \end{vmatrix} = \hat{i} \begin{vmatrix} a_2 & a_3 \\ b_2 & b_3 \end{vmatrix} - \hat{j} \begin{vmatrix} a_1 & a_3 \\ b_1 & b_3 \end{vmatrix} + \hat{k} \begin{vmatrix} a_1 & a_2 \\ b_1 & b_2 \end{vmatrix}

3x3 的行列式是符号记号，真正的公式是展开式

几何上 = 以 A⃗\vec{A} 和 B⃗\vec{B} 为边的空间平行四边形的面积，方向 = 垂直 A⃗\vec{A} 和 B⃗\vec{B} 的平面

体积 = A⃗⋅(B⃗×C⃗)=det⁡(A⃗,B⃗,C⃗)\vec{A} ⋅ (\vec{B} × \vec{C}) = \det(\vec{A}, \vec{B}, \vec{C})

平面与线性代数

略

线 line：

  • 两个平面相交
  • 参数方程，即运动的点的轨迹

多变量函数

偏导：

fx=∂f∂x=lim⁡Δx→0f(x0+Δx,y0)−f(x0,y0)Δxf_x = \frac{∂ f}{∂ x} = \lim_{Δx → 0} \frac{f(x_0 + Δx, y_0) - f(x_0, y_0)}{Δx}

几何解释：fxf_x 为 ff 的图像固定 y=y0y=y_0 处的竖直切面的切线

线性近似公式：

Δf≈fxΔx+fyΔyΔ f ≈ f_x Δ x + f_y Δ y

可以得出图像的切平面：

z=z0+fx(x0,y0)(x−x0)+fy(x0,y0)(y−y0)z = z_0 + f_x(x_0, y_0)(x-x_0) + f_y(x_0, y_0)(y-y_0)

所以线性近似公式就是与它的切平面最近的图像

最大/最小值问题：

驻点 critical point：fx=0f_x = 0 且 fy=0f_y = 0 的点 (x0,y0)(x_0, y_0)

驻点可能是极小值点、极大值点或鞍点，对于 w=ax2+bxy+cy2w = ax^2 + bxy + cy^2

  • 若 b2−4ac<0b^2 - 4ac < 0，则 ww 总是非负数（最小）或非正数（最大）
  • 若 b2−4ac>0b^2 - 4ac > 0，则 ww 改变符号（鞍点）

微分

全微分 total differential：

df=fxdx+fydy+fzdz\mathrm{d}f = f_x \mathrm{d}x + f_y \mathrm{d}y + f_z \mathrm{d}z

链式法则 chain rule：若 x=x(t),y=y(t),z=z(t)x = x(t), y = y(t), z = z(t)

dfdt=fxdxdt+fydydt+fzdzdt\frac{\mathrm{d}f}{\mathrm{d}t} = f_x \frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t} + f_y \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t} + f_z \frac{\mathrm{d}z}{\mathrm{d}t}

梯度 gradient：链式法则可以写成 dwdt=∇w⋅dr⃗dt\frac{\mathrm{d}w}{\mathrm{d}t} = ∇ w ⋅ \frac{\mathrm{d}\vec{r}}{\mathrm{d}t}

梯度向量：∇w=<wx,wy,wz>∇ w = <w_x, w_y, w_z>

∇w∇ w 垂直于等高面 w=cw = c

方向导数 directional derivative：

dwds=∇w⋅u^\frac{\mathrm{d}w}{\mathrm{d}s} = ∇ w ⋅ \hat{u}

∇w∇ w 指向最速上升，∣∇w∣|∇ w| 是那个方向的方向导数

拉格朗日乘数 Lagrange multipliers：对于由等式 g(x,y,z)=cg(x, y, z) = c 限制的变量求最大/最小值

观察图形可知：在最值处，曲线等高线相切，法向量平行，即

∇f=λ∇g∇ f = λ ∇ g

相关变量：g(x,y,z)=cg(x, y, z) = c 且 z=z(x,y)z = z(x, y)，求 ∂z∂x\frac{∂z}{∂x}

则 gxdx+gydy+gzdz=0g_x \mathrm{d}x + g_y \mathrm{d}y + g_z \mathrm{d}z = 0

注意：(∂z∂x)y(\frac{∂z}{∂x})_y 表示固定 yy 后，对 xx 的导数

积分

双重积分 ∬Rf(x,y)dA=\iint_R f(x, y) \mathrm{d}A = 区域 RR 上图像 z=f(x,y)z = f(x, y) 下方的体积

计算方法：S(x)S(x) 是平行于 yz−yz- 平面的切片，则

V=∫xminxmaxS(x)dxV = \int_{x_{min}}^{x_{max}} S(x) \mathrm{d}x

其中 S(x)=∫f(x,y)dyS(x) = ∫ f(x, y) \mathrm{d}y

对于内部积分，固定 xx，yy 是积分变量

交换积分次序

极坐标积分（x=rcos⁡θ,y=rsin⁡θx = r \cos θ, y = r \sin θ），如果被积函数或区域在极坐标下表示简单，则可以使用，其中 dA=rdrdθ\mathrm{d}A = r\mathrm{d}r\mathrm{d}θ

一般都是固定 θθ，找到 rr 的初始值和最后的值

应用：求重心

总质量为

M=∬RδdAM = \iint_R δ \mathrm{d}A

xˉ=1M∬RxδdA,yˉ=1M∬RyδdA\bar{x} = \frac{1}{M} \iint_R x δ \mathrm{d}A, \bar{y} = \frac{1}{M} \iint_R y δ \mathrm{d}A

变量代换（使用到了线性近似）

dudv=∣J∣dxdy\mathrm{d}u\mathrm{d}v = |J|\mathrm{d}x\mathrm{d}y

其中雅可比 Jacobian 为

J=∂(u,v)∂(x,y)=∣uxuyvxvy∣J = \frac{∂(u, v)}{∂(x, y)} = \begin{vmatrix} u_x & u_y \\ v_x & v_y \end{vmatrix}

向量场

功与线积分

W=∫CF⃗⋅dr⃗=∫t1t2(F⃗⋅dr⃗dt)dtW = \int_C \vec{F} ⋅ \mathrm{d}\vec{r} = \int_{t_1}^{t_2} (\vec{F} ⋅ \frac{\mathrm{d}\vec{r}}{\mathrm{d}t}) \mathrm{d}t

写成坐标形式：

∫CF⃗⋅dr⃗=∫CMdx+Ndy\int_C \vec{F} ⋅ \mathrm{d}\vec{r} = \int_C M\mathrm{d}x + N \mathrm{d}y

还有一种写法：

∫CF⃗⋅dr⃗=∫CF⃗⋅T^ds\int_C \vec{F} ⋅ \mathrm{d}\vec{r} = \int_C \vec{F} ⋅ \hat{T} \mathrm{d}s

线积分的微积分基本定理：

∫C∇f⋅dr⃗=f(P1)−f(P0)\int_C ∇f ⋅ \mathrm{d}\vec{r} = f(P_1) - f(P_0)

其中曲线 CC 从 P0P_0 到 P1P_1

对于梯度场，有

  • 路径无关
  • 闭合曲线积分为 0

称这类场为保守场 conservative

定义：旋度 curl = Nx−MyN_x - M_y

格林定理 Green's theorem：如果 CC 是一个正向闭合曲线，封闭了区域 RR，则

∮CF⃗⋅dr⃗=∬Rcurl⁡F⃗dA\oint_C \vec{F} ⋅ \mathrm{d}\vec{r} = \iint_R \operatorname{curl} \vec{F} \mathrm{d}A

也就是

∮CMdx+Ndy=∬R(Nx−My)dA\oint_C M \mathrm{d}x + N \mathrm{d}y = \iint_R(N_x - M_y)\mathrm{d}A

通量 flux：∫CF⃗⋅n^ds\int_C \vec{F} ⋅ \hat{n} \mathrm{d}s

对比功 ∫CF⃗⋅T^ds\int_C \vec{F} ⋅ \hat{T} \mathrm{d}s

格林通量定理 Green’s theorem for flux：如果 CC 逆时针闭合区域 RR，且 F⃗=Pi^+Qj^\vec{F} = P \hat{i} + Q \hat{j}，则

∮CF⃗⋅n^ds=∬Rdiv⁡(F⃗)dA\oint_C \vec{F} ⋅ \hat{n} \mathrm{d}s = \iint_R \operatorname{div}(\vec{F}) \mathrm{d}A

其中 div⁡(F⃗)=Px+Qy\operatorname{div}(\vec{F}) = P_x + Q_y 是 F⃗\vec{F} 的散度 divergence

三重积分

直角坐标

柱坐标 cylindrical coordinates：(r,θ,z),x=rcos⁡θ,y=rsin⁡θ,dV=rdrdθdz(r, θ, z), x = r \cos θ, y = r \sin θ, \mathrm{d}V = r\mathrm{d}r\mathrm{d}θ\mathrm{d}z

球坐标 spherical coordinates：(ρ,ϕ,θ)(ρ, ϕ, θ)，ρρ 是到原点的距离，ϕϕ 是与 zz 轴的夹角，dV=ρ2sin⁡ϕdρdϕdθ\mathrm{d}V = ρ^2 \sin ϕ \mathrm{d}ρ\mathrm{d}ϕ\mathrm{d}θ

散度与旋度

散度定理 divergence theorem(Gauss-Green theorem)：格林通量定理的三维版本

∬SF⃗⋅dS⃗=∭Ddiv⁡F⃗dV\iint_S \vec{F} ⋅ \mathrm{d}\vec{S} = \iiint_D \operatorname{div} \vec{F} \mathrm{d}V

扩散方程 diffusion equation

∂u∂t′=k∇2u\frac{∂u}{∂t}'= k ∇^2u

斯托克斯定理 Stokes’ theorem：格林定理的三维版本，CC 是闭合曲线，SS 是被 CC 包围的任何表面

∮CF⋅dr⃗=∬S(∇×F)⋅n^dS\oint_C F ⋅ \mathrm{d}\vec{r} = \iint_S (∇ × F) ⋅ \hat{n} \mathrm{d}S