导数 derivatives

几何解释：切线斜率

物理解释：速率

极限 limits 连续性 continuity

lim⁡Δx→0ΔyΔy=dydx\lim_{Δx→0}\frac{Δy}{Δy} = \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}

若

lim⁡x→x0f(x)=f(x0)\lim_{x→x_0}f(x) = f(x_0)

则称 f(x)f(x) 在 x0x_0 处连续 continuous

可去间断点 removable discontinuity：若左极限 lim⁡x→x−f(x)=\lim_{x→x^{-}}f(x)= 右极限 lim⁡x→x+f(x)\lim_{x→x^{+}}f(x)，但是 f(x0)f(x_0) 不相等或无定义

跳跃间断点 jump discontinuity：左、右极限均存在但不相等

两个三角的极限：

lim⁡θ→0sin⁡θθ=1\lim_{θ→0}\frac{\sin{θ}}{θ} = 1

lim⁡θ→01−cos⁡θθ=0\lim_{θ→0}\frac{1 - \cos{θ}}{θ} = 0

定理：可导必连续

导数运算法则

加法：

(u+v)′=u′+v′(u+v)^{\prime} = u^{\prime} + v^{\prime}

数乘：

(cu)′=cu′(cu)^{\prime} = cu^{\prime}

乘法公式：

(uv)′=u′v+uv′(uv)^{\prime} = u^{\prime}v + uv^{\prime}

除法公式：

(uv)′=u′v−uv′v2(\frac{u}{v})^{\prime} = \frac{u^{\prime}v - uv^{\prime}}{v^2}

链式法则 chain rule 和 高阶导数 higher derivatives

链式法则：

dydt=dydx⋅dxdt\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t} = \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} ⋅ \frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}

高阶导数记号：

f′′(x)=D2f=d2fdx2f^{\prime \prime}(x) = D^2f = \frac{\mathrm{d}^2f}{\mathrm{d}x^2}

隐函数求导 implicit differentiation 和逆 inverses

例如：

x2+y2=1x^2 + y^2 = 1

直接对 xx 求导：

2x+2ydydx=02x + 2y \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} = 0

逆函数求导：

x=f−1(y)x=f^{-1}(y)

ddy(f−1(y))=2dydx\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}y}(f^{-1}(y)) = \frac{2}{\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}}

指数函数 exponential 和对数函数 log 求导

ddx(ex)=ex\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(e^x) = e^x

自然对数：

ln⁡(ex)=x\ln(e^x) = x

ddx(ln⁡(x))=1x\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(\ln(x)) = \frac{1}{x}

ddx(ax)=ln⁡(a)⋅ax\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(a^x) = \ln(a)⋅a^x

双曲正弦函数 hyperbolic sine 和双曲余弦函数 hyperbolic cosine

双曲正弦函数 hyperbolic sine：

sinh⁡(x)=ex−e−x2\sinh(x) = \frac{e^x - e^{-x}}{2}

双曲余弦函数 hyperbolic cosine：

cosh⁡(x)=ex+e−x2\cosh(x) = \frac{e^x + e^{-x}}{2}

两者关系：

ddxcosh⁡(x)=sinh⁡(x)\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\cosh(x) = \sinh(x)

cosh⁡2(x)−sinh⁡2(x)=1\cosh^2(x) - \sinh^2(x) = 1

对数求导法和指数求导法

线性近似 linear approximations 和二次近似 quadratic approximations

线性近似 linear approximations：

f(x)≈f(x0)+f′(x0)(x−x0)f(x) ≈ f(x_0) + f^{\prime}(x_0)(x-x_0)

二次近似 quadratic approximations：

f(x)≈f(x0)+f′(x0)(x−x0)+f′′(x0)2(x−x0)2(x≈x0)f(x) ≈ f(x_0) + f^{\prime}(x_0)(x-x_0) + \frac{f^{\prime \prime}(x_0)}{2}(x-x_0)^2 (x ≈ x_0)

曲线草图 curve sketching

方法：

  • 画出不连续点（尤其是无限大的点）
  • 寻找驻点（f′(x)=0f^{\prime}(x) = 0）
  • 画出驻点
  • 决定驻点之间导数的正负
  • 找零点
  • 决定在无穷远处的表现

牛顿迭代法 Newton's method

先选定一点 x0x_0

下一个点 x1x_1 满足：

x1=x0−f(x0)f′(x0)x_1 = x_0 - \frac{f(x_0)}{f^{\prime}(x_0)}

一般的，第 k+1k+1 个点为：

xk+1=xk−f(xk)f′(xk)x_{k+1} = x_k - \frac{f(x_k)}{f^{\prime}(x_k)}

这样能够比较快地找出函数零点，但根初始点的选取有关

中值定理 mean value theorem

如果 ff 在 a<x<ba < x < b 可导，在 a≤x≤ba ≤ x ≤ b 连续，则存在 a<c<ba < c < b，使得

f(b)−f(a)b−a=f′(c)\frac{f(b) - f(a)}{b - a} = f^{\prime}(c)

几何意义：存在一个切线，其斜率等于割线

可以写成类似于线性近似的形式：

f(x)=f(a)+f′(c)(b−a)f(x) = f(a) + f^{\prime}(c)(b-a)

中值定理的应用：

  • 如果 f′(x)>0f{\prime}(x) > 0，则 ff 在增加
  • 如果 f′(x)<0f{\prime}(x) < 0，则 ff 在减小
  • 如果 f′(x)=0f{\prime}(x) = 0，则 ff 不变

微分 differentials 和不定积分 antiderivatives

微分：

dy=f′(x)dx\mathrm{d}y = f^{\prime}(x)\mathrm{d}x

微分的应用之一——线性近似：

ΔyΔx≈dydx\frac{Δy}{Δx} ≈ \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}

F(x)=∫f(x)dxF(x) = ∫ f(x)\mathrm{d}x 表示 FF 是 ff 的不定积分（反微分）

例：

∫sin⁡xdx=−cos⁡x+c，其中c是常数∫ \sin x \mathrm{d}x = -\cos x + c\text{，其中c是常数}

变量代换法：

∫x3(x4+2)5dx∫ x^3(x^4+2)^5\mathrm{d}x

令 u=x4+2u = x^4 + 2，则原式 =14∫u5du= \frac 14 ∫ u^5\mathrm{d}u

微分方程 differntial equations 和分离变量法 separation of variables

例：

dydx=−xy\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} = -xy

分离变量：

dyy=−xdx\frac{\mathrm{d}y}{y} = -x \mathrm{d}x

两边取不定积分：

ln⁡∣y∣=−x22+c\ln|y| = -\frac{x^2}{2} + c

y=ae−x2/2y = ae^{-x^2/2}

定积分 definite integrals

曲线下的面积：

  • 把区域分成一个个矩形
  • 把矩形的面积相加
  • 让矩形变得尽量瘦

定义：

lim⁡n→∞∑i=1nf(ci)Δx=∫abf(x)dx\lim_{n→∞} \sum_{i=1}^n f(c_i) Δx = \int_a^b f(x) \mathrm{d}x

微积分第一基本定理 first fundamental theorem of calculus

如果 f(x)f(x) 是连续的且 F′(x)=f(x)F^{\prime}(x) = f(x)，则

∫abf(x)dx=F(b)−F(a)\int_a^b f(x) \mathrm{d}x = F(b) - F(a)

积分的加法：

∫abf(x)dx+∫bcf(x)dx=∫acf(x)dx\int_a^b f(x) \mathrm{d}x + \int_b^c f(x) \mathrm{d}x = \int_a^c f(x) \mathrm{d}x

由此可得：

∫abf(x)dx=−∫baf(x)dx\int_a^b f(x) \mathrm{d}x = -\int_b^a f(x) \mathrm{d}x

变量代换时要注意变换定积分的上下限：

∫x1x2f(x)u′(x)dx=∫u1u2g(u)du,u1=u(x1),u2=u(x2)\int_{x_1}^{x_2} f(x)u^{\prime}(x) \mathrm{d}x = \int_{u_1}^{u_2} g(u) \mathrm{d}u, u_1 = u(x_1), u_2 = u(x_2)

微积分第二基本定理 second fundamental theorem

如果 F(x)=∫axf(t)dtF(x) = \int_a^x f(t) \mathrm{d}t 且 ff 连续，则

F′(x)=f(x)F^{\prime}(x) = f(x)

几何应用：

求面积：

  • 横向切割
  • 纵向切割

求体积：

  • 圆盘切割
  • 圆柱切割

数值积分 numerical integration

对于无法求出表达式的定积分，需要估计答案

黎曼和 Riemann Sum：

分成一个个矩形，矩形面积之和

梯形法则 trapezoidal rule：

每个梯形的面积为

(y3+y42)Δx(\frac{y_3 + y_4}{2})Δx

总面积为：

Δx(y02+y1+⋯+yn−1+yn2)Δx(\frac{y_0}{2} + y_1 + ⋯ + y_{n-1} + \frac{y_n}{2})

本质上是黎曼左和与右和的平均值

辛普森规则 Simpson's Rule：

使用抛物线而不是直线，抛物线底下的面积为：

2Δx(y+0+4y1+y26)2Δx(\frac{y+0 + 4y_1 + y_2}{6})

∫abf(x)dx≈Δx3(y0+4y1+2y2+4y3+2y4+⋯+4yn−1+yn\int_a^b f(x) \mathrm{d}x ≈ \frac{Δx}{3}(y_0 + 4y_1 + 2y_2 + 4y_3 + 2y_4 + ⋯ + 4y_{n-1} + y_n

三角积分和代换 trigonometric integrals and substitution

对于

∫sin⁡nxcos⁡mxdx∫ \sin^n x \cos ^m x \mathrm{d}x

  1. n 和 m 至少有一个为奇数

例：

∫sin⁡3xcos⁡2xdx=∫(1−cos⁡2x)cos⁡2xsin⁡xdx∫ \sin^3 x \cos ^2 x \mathrm{d}x = ∫ (1 - \cos^2 x)\cos^2 x \sin x \mathrm{d}x

再令 u=cos⁡xu = \cos x 即可

  1. m 和 n 都是偶数

使用倍角公式：

cos⁡2x=1+cos⁡2x2\cos^2 x = \frac{1 + \cos 2x}{2}

例如：

∫sin⁡2xcos⁡2xdx=∫(1−cos⁡2x2)(1+cos⁡2x2)dx∫ \sin^2 x \cos ^2 x \mathrm{d}x = ∫ (\frac{1 - \cos 2x}{2})(\frac{1 + \cos 2x}{2}) \mathrm{d}x

=∫(14−14cos⁡22x)dx=∫(14−18(1+cos⁡4x))dx= ∫ (\frac 14 - \frac 14 \cos^2 2x)\mathrm{d}x = ∫ (\frac 14 - \frac 18 (1 + \cos 4x))\mathrm{d}x

公式：

sec⁡2x=1+tan⁡2x\sec^2 x = 1 + \tan^2 x

(tan⁡x)′=sec⁡2x(\tan x)^{\prime} = \sec^2 x

(sec⁡x)′=sec⁡xtan⁡x(\sec x)^{\prime} = \sec x \tan x

逆代换和完全平方 integration by inverse substitution and completing the square

想要计算半圆的部分面积，即：

∫0xa2−t2dt\int_0^x \sqrt{a^2-t^2} \mathrm{d}t

令 t=asin⁡ut = a\sin u，使得 a2−t2=acos⁡u\sqrt{a^2-t^2} = a\cos u，得到

∫a2cos⁡2udu=a2[u2+sin⁡(2u)4]+c∫ a^2\cos^2u\mathrm{d}u = a^2[\frac u2 + \frac{\sin(2u)}{4}] + c

再将 uu 反代为 xx，使用图形化简：

∫0xa2−t2dt=a22sin⁡−1(xa)+12xa2−x2\int_0^x \sqrt{a^2-t^2} \mathrm{d}t = \frac{a^2}{2}\sin^{-1}(\frac{x}{a}) + \frac 12 x\sqrt{a^2-x^2}

一些形式的积分的三角代换规则：

积分 代换 三角等式
∫dxx2+1∫ \frac{\mathrm{d}x}{\sqrt{x^2 + 1}} x=tan⁡ux = \tan u tan⁡2u+1=sec⁡2u\tan^2u + 1 = \sec^2u
∫dxx2−1∫ \frac{\mathrm{d}x}{\sqrt{x^2 - 1}} x=sec⁡ux = \sec u sec⁡2u−1=tan⁡2u\sec^2u - 1 = \tan^2u
∫dx1−x2∫ \frac{\mathrm{d}x}{\sqrt{1 - x^2}} x=sin⁡ux = \sin u 1−sin⁡2u=cos⁡2u1 - \sin^2 u = \cos^2u

如果是类似这样的形式：

∫dxx2+4x∫ \frac{\mathrm{d}x}{\sqrt{x^2 + 4x}}

可以先配成“完全平方 + 一个常数”的形式：

=dx(x+2)2−4= \frac{\mathrm{d}x}{\sqrt{(x + 2)^2 - 4}}

部分分式 partial fractions

P(x)P(x) 和 Q(x)Q(x) 是多项式，形如这样的积分：

P(x)Q(x)\frac{P(x)}{Q(x)}

方法：

  • 对分母进行因式分解
  • 使用待定系数法或遮盖法求解分解后分式的分子
  • 分别对每个分式积分

分布积分 integration by parts

乘法法则的变形的积分形式：

∫udv=uv−∫vdu∫ u\mathrm{d}v = uv - ∫ v\mathrm{d}u

定积分形式：

∫abuv′dx=uv∣ab−∫abu′vdx\int_a^b uv^{\prime}\mathrm{d}x = uv|_a^b - \int_a^b u^{\prime}v\mathrm{d}x

递归公式：

∫(ln⁡x)ndx=x(ln⁡x)n−∫n(ln⁡x)n−1dx∫ (\ln x)^n \mathrm{d}x = x(\ln x)^n - ∫ n(\ln x)^{n-1} \mathrm{d}x

不定形——洛必达法则 L'Hopital's Rule

对于形如 00\frac{0}{0} 或 ∞∞\frac{∞}{∞} 形式：

lim⁡x→af(x)g(x)=f′(a)g′(a)\lim_{x→a}\frac{f(x)}{g(x)} = \frac{f^{\prime}(a)}{g^{\prime}(a)}

反常积分 improper integrals

反常积分：

∫a∞f(x)dx=lim⁡M→∞∫aMf(x)dx\int_a^{∞} f(x) \mathrm{d}x = \lim_{M→∞} \int_a^M f(x) \mathrm{d}x

如果该极限存在，则称其收敛 converge；如果不存在，则为发散 diverge

敛散性判断：

对于形如 ∫1∞dxxp\int_1^∞ \frac{\mathrm{d}x}{x^p}，若 0<p≤10 < p ≤ 1 ，则发散；若 p>1p > 1，则收敛。

若 0≤f(x)≤g(x)0 ≤ f(x) ≤ g(x) 恒成立，

  • 若 g(x)g(x) 收敛，则 f(x)f(x) 收敛（大收敛）
  • 若 f(x)f(x) 发散，则 g(x)g(x) 发散（小发散）

极限比较：

若 f(x)≥0f(x) ≥ 0 且 lim⁡x→∞f(x)/g(x)≤1\lim_{x→∞}f(x)/g(x) ≤ 1，则对于某个较大的 aa，有 f(x)≤2g(x)f(x) ≤ 2g(x)，所以 ∫a∞f(x)dx≤2∫a∞g(x)dx\int_a^∞ f(x)\mathrm{d}x ≤ 2 \int_a^∞ g(x)\mathrm{d}x

无穷级数 infinite series 和敛散性判断 convergence tests

几何级数：

1+a+a2+⋯=S1 + a + a^2 + ⋯ = S

解得：

S=11−a,−1<a<1S = \frac{1}{1 - a}, -1 < a < 1

记号：

∑k=0∞ak=a0+a1+…\sum_{k = 0}^∞ a_k = a_0 + a_1 + …

部分和：

Sn=∑k=0nak=a0+a1+…+anS_n = \sum_{k = 0}^n a_k = a_0 + a_1 + … + a_n

级数的积分审敛法：

∑n=1∞1np ∼∫1∞dxxp\sum_{n = 1}^∞ \frac{1}{n^p} \ ∼ \int_1^∞ \frac{\mathrm{d}x}{x^p}

两者有相同的敛散性

泰勒级数 Taylor Series

泰勒公式的因子为：

f(x)(0)=(n!)anf^{(x)}(0) = (n!)a_n

ex=∑n=0∞xnn!e^x = \sum_{n = 0}^∞ \frac{x^n}{n!}

cos⁡x=1−12x2+14!x4−16!x6+…\cos x = 1 - \frac{1}{2}x^2 + \frac{1}{4!}x^4 - \frac{1}{6!}x^6 +…

sin⁡x=x−x33!+x55!−x77!+…\sin x = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \frac{x^7}{7!} + …

其它点处的泰勒级数：

f(x)=f(b)+f′(b)(x−b)+f′′(b)2(x−b)2+…f(x) = f(b) + f^{\prime}(b)(x-b) + \frac{f^{\prime \prime}(b)}{2}(x-b)^2 + …

最后附上一首关于多元链式法则的小诗：

One thing to rule them all
One thing to find them
One thing to bring them all
And in a matrix bind them.

改编自《魔戒》中的

至尊戒驭众戒
至尊戒寻众戒
至尊戒引众戒
禁锢众戒黑暗中