MIT 18.04：复变函数

复数与复平面 Complex algebra and the complex plane

复数的定义及基本术语

$$\sqrt{-1} = ± i$$

数学中用 $i$，工程中常用 $j$，称作虚数 imaginary number

算术基本定理：$n$ 阶的多项式有 $n$ 个复数根（包括重根）

复数可表示为：

$$z = x + yi$$

其中 $x,y$ 都是实数 real number

• $x$ 称为实部 real part
• $y$ 称为虚部 imaginary part，虚部不包括 $i$
• 复数的集合用 $C$ 表示

复数的加法、减法、乘法、除法

共轭复数 complex conjugation：

$$\overline{x + iy} = x - iy$$

有用的性质：若 $z = x + iy$，则

$$z\overline{z} = (x + iy)(x - iy) = x^2 + y^2$$

复数 $z = x + iy$ 的大小 magnitude / 绝对值 absolute value / 模 modulus / 范式 norm：

$$|z| = \sqrt{x^2 + y^2}$$

复平面：$x$ 轴为实轴，$y$ 轴为虚轴

三角形不等式：

$$|z_1| + |z_2| ≥ |z_1 + z_2|$$

当且仅当其中有一个为 0 或 $\operatorname{arg}(z_1) = \operatorname{arg}(z_2)$ 时，取 =

极坐标与欧拉公式

极坐标 polar coordinates：

$$r = |z|, θ = \operatorname{arg}(z)$$

欧拉公式 Euler's Formula：

$$e^{iθ} = \cos{θ} + i\sin{θ}$$

证明：

• 求导
• 0
• 无穷级数

复数指数的极坐标：

$$z = x + iy = re^{iθ}$$

优点：

• $\operatorname{arg}(z) = θ$
• 乘法：$z_1z_2 = r_1r_2e^{i(θ_1 + θ_2)}$
• 除法：$z_1 / z_2 = \frac{r_1}{r_2}e^{i(θ_1 - θ_2)}$

自乘：$(1 + i)^6 = (\sqrt{2}e^{iπ/4})^6 = -8i$

复化或复变换：例如在计算以下积分时

$$∫ e^x\cos{(2x)}\mathrm{d}x = \operatorname{Re}(\int e^x e^{i2x} \mathrm{d}x)$$

第 N 个根：$z^N = c$

$$r = R^{1/N}, θ = \frac{ϕ}{N} + \frac{2π n}{N}$$

逆欧拉函数：

$$\cos(t) = \frac{e^{it} + e^{-it}}{2}$$

$$\sin(t) = \frac{e^{it} - e^{-it}}{2i}$$

用欧拉公式很容易得到的 de Moivre's formula：

$$(\cos{θ} + i\sin{θ})^n = \cos{nθ} + i\sin{nθ}$$

复数$z = a + bi$的矩阵表示：

$$Z = \begin{bmatrix} a & -b \\ b & a \end{bmatrix}$$

极坐标形式（分解成伸展因子和旋转矩阵）：

$$Z = \begin{bmatrix} r & 0 \\ 0 & r \end{bmatrix}\begin{bmatrix} \cos{θ} & -\sin{θ} \\ \sin{θ} & \cos{θ} \end{bmatrix}$$

指数函数与映射

复数的指数函数：

$$e^z = e^x(\cos y + i\sin y)$$

$e^{it}$ 将实轴映射到单位圆上：

复函数是二维对二维的，所以通常将其视为映射 mapping

穿孔平面 punctured plane 是复平面减去原点，表示为 $C - \{0\}$

辐角

辐角主值 principal branch of arg(z) ：$-π < \operatorname{arg}(z) ≤ π$，记号为 $\operatorname{Arg}(z)$

若想要幅角连续，则把定义域限制为平面减去割线 branch cut

对数函数

通过复指数定义 $\log z$：$e^{\log z} = z$

也就是：

$$\log z = \log|z| + i\operatorname{arg}(z)$$

注意：

• 因为 $\operatorname{arg}(z)$ 有多个可能的值，所以 $\log z$ 也有多个可能值
• $\log 0$ 无定义
• 选择一组辐角，使得 $\log z$ 单值，则称我们选了 log 函数的一个分支 a branch of the log function
• log 的主分支 principal branch of log 来自辐角主值，即 $-π < \operatorname{arg}(z) ≤ π$

幂函数

定义：

$$z^a = e^{a\log(z)}$$

是多值的，通常需要选择 $\log (z)$ 的一个分支

解析函数 Analytic functions

极限

在微积分中我们用极限定义导数，在复数中也一样

$z_0$ 周围半径为 $r$ 的开圆盘 open disk是点 $z$ 的集合，$|z-z_0| < r$

$z_0$ 周围半径为 $r$ 的**开去心圆盘 open deleted disk / 有孔圆盘 punctured disk **是点 $z$ 的集合，$0 < |z-z_0| < r$

开区域 open region 其中每个点都被开圆盘包围

极限的定义：如果 $f(z)$ 定义在 $z_0$ 周围的一个有孔圆盘上，则

$$\lim_{z\to z_0} f(z) = w_0$$

如果有多条点序列可以靠近 $z_0$，则所有的序列都必须趋向 $w_0$

连续函数

复变量函数的一种写法：

$$f(z) = f(x + iy) =u(x, y) + iv(x, y)$$

当且仅当 $u(x, y)$ 和 $v(x, y)$ 都连续时，$f(z)$ 连续

一些连续函数：

• 多项式函数在整个平面上连续
• 指数函数在整个平面上连续
• 辐角主值函数在平面减去非正实轴连续
• 对数函数在平面减去非正实轴连续

连续函数的性质：

• 加法连续
• 乘法连续
• 除法连续（除了分母为 0）
• 复合函数连续

无穷远

定义：延伸的复平面 extended complex plane = $C ∪ \{∞\}$

如果在 0 周围画一个大圆，则称在这个圆之外的区域为无穷远的领域 a neighborhood of infinity

无穷远与极限：

$$\lim_{z → ∞} \frac{1}{z} = 0$$

黎曼球面的立体投影

导数

$$f^{\prime}(z_0) = \lim_{z → z_0} \frac{f(z) - f(z_0)}{z - z_0}$$

如果该极限存在，则称 $f$ 在 $z_0$ 处可解析 analytic 或可导 differentiable

如果 $f$ 在开区域 $A$ 中所有点都可解析，则称 $f$ 在 $A$ 中可解析 analytic

求导法则：同实变量函数

定理：如果 $f(z)$ 在开圆盘上有定义且可解析，$f^{\prime}(z) = 0$，则 $f(z)$ 是一个常数

柯西-黎曼方程

柯西-黎曼方程 Cauchy-Riemann Equations：

如果 $f(z) = u(x, y) + iv(x, y)$ 可解析，则

$$f^{\prime}(z) = \frac{∂ u}{∂ x} + i\frac{∂ v}{∂ x} = \frac{∂ v}{∂ y} - i\frac{∂ u}{∂ y}$$

其中

$$\frac{∂ u}{∂ x} = \frac{∂ v}{∂ y}, \frac{∂ u}{∂ y} = -\frac{∂ v}{∂ x}$$

定理：如果 $u$ 和 $v$ 满足柯西-黎曼方程且有连续的偏导数，则 $f(z)$ 在 $A$ 可微

$f^{\prime}(z)$ 的矩阵表示：

$$\begin{bmatrix} u_x & u_y \\ v_x & v_y \end{bmatrix}$$

即 $f(x, y)$ 的雅可比矩阵

定理：假设 $u$ 和 $v$ 的二阶偏导存在且连续，如果 $f(z) = u + iv$ 可解析，则 $f^{\prime}(z)$ 也可解析

定义：如果一个函数在复平面上的每一点都可解析，则称为整函数 entire function

双曲正弦和余弦：

$$\cosh(z) = \frac{e^z + e^{-z}}{2}, \sinh(z) = \frac{e^z - e^{-z}}{2}$$

性质：

• $\frac{\mathrm{d}\cosh(z)}{\mathrm{d}z} = \sinh(z), \frac{\mathrm{d}\sinh(z)}{\mathrm{d}z} = \cosh(z)$
• $\cosh^2(z) - \sinh^2(z) = 1$
• 对于实数 $x$，两者都是实数
• $\cosh(iz) = \cos(z), \sinh(z) = -i\sin(iz)$

线积分和柯西定理 Line integrals and Cauchy's theorem

线积分

线积分也被称为路径 path 或轮廓 contour 积分，表示为：

$$\int_γ f(z) \mathrm{d}z := \int_a^b f(γ(t))(γ^{\prime}(t))\mathrm{d}t$$

另一种写法：

$$\int_γ f(z) \mathrm{d}z = \int_γ(u + iv)(\mathrm{d}x + i\mathrm{d}y)$$

复数线积分基本定理：如果 $f(z)$ 是一个在开区域 $A$ 上可解析的复函数，$γ$ 是 $A$ 中一条从 $z_0$ 到 $z_1$ 的曲线，则

$$\int_γ f^{\prime}(z) \mathrm{d}z = f(z_1) - f(z_0)$$

如果任何两条端点相同的路径的积分值相等，则称该线积分路径无关 path independence

定理：如果 $f(z)$ 在开区域 $A$ 上有不定积分，则路径积分 $\int_γ f(z) \mathrm{d}z$ 在 $A$ 的所有路径路径无关

两者等价：

• $\int_γ f(z) \mathrm{d}z$ 路径无关
• $\int_γ f(z) \mathrm{d}z$ 沿任何封闭路径为 0

柯西定理

类似于无旋场的格林定理

如果 $A$ 是简单连通区域，$f(z)$ 在 $A$ 上可解析且 $C$ 是 $A$ 上的简单闭合曲线，则满足以下结论：

• $\int_C f(z)\mathrm{d}z = 0$
• $f$ 的路径积分路径无关
• $f$ 有不定积分

扩展柯西定理：

$$\int_{C_1 - C_2}f(z)\mathrm{d}z = 0$$

柯西积分公式 Cauchy's integral formula

柯西积分公式 Cauchy's integral formula：假设 $C$ 是一个简单闭合曲线且函数 $f(z)$ 在包括 $C$ 和它内部的区域可解析，$C$ 是逆时针方向的，则对于 $C$ 中任何 $z_0$

$$f(z_0) = \frac{1}{2π i} \int_C\frac{f(z)}{z - z_0}\mathrm{d}z$$

导数的柯西积分公式：

$$f^{(n)}(z) = \frac{n!}{2π i}\int_C \frac{f(w)}{w - z}^{n+1} \mathrm{d}w, n = 0, 1, 2, \dots$$

积分的三角不等式

三角不等式：

• $|z_1 + z_2| ≤ |z_1| + |z_2|$
• $|z_1| - |z_2| ≤ |z_1 - z_2|$

积分的三角不等式 triangle inequality for integrals：

$\bigg| \int_a^bg(t) \mathrm{d}t \bigg| ≤ \int_a^b |g(t)| \mathrm{d}t$

三角不等式 2：

$$\bigg|\int_γ f(z) \mathrm{d}z\bigg| ≤ \int_γ |f(z)||\mathrm{d}z|$$

推论：如果 $|f(z) < M$，则

$$\bigg|\int_C f(z) \mathrm{d}z\bigg| ≤ M ⋅ (\text{C 的长度})$$

柯西定理的第二种扩展：如果 $A$ 是简单连通区域，包括点 $z_0$，假设函数 $g$ 满足：

• 在 $A - \{z\}$ 上可解析
• 在 $A$ 上连续

则对于 $A$ 中所有闭合曲线 $C$

$$\int_C g(z) \mathrm{d}z = 0$$

定理：如果 $f(z)$ 在区域 $A$ 上可解析，则 $f$ 有任意阶导数

注意：观察导数柯西公式的证明，这个定理的因为 $\frac{1}{w-z}$ 在不包括 $z$ 的区域有任意阶导数

柯西不等式 Cauchy's inequality：$C_R$ 是圆 $|z - z_0| = R$，假设 $f(z)$ 在 $C_R$ 上和其内部可解析，$M_R = C_R$ 上最大的 $|f(z)|$，则

$$|f^{(n)}(z_0)| ≤ \frac{n!M_R}{R^n}$$

刘维尔定理 Liouville's theorem：假设 $f(z)$ 是整函数且被约束在一个复平面内，即对于所有 $z∈ C$，有 $|f(z)|<M$，则 $f(z)$ 是一个常数

推论：算术基本定理

中值性质 Mean value property：如果 $f(z)$ 在开圆盘上可解析，则

$$f(z_0) = \frac{1}{2π}\int_0^{2π} f(z_0 + re^{iθ}) \mathrm{d}θ$$

最大模原理 Maximum modulus principle：如果 $f$ 在连通区域 $A$ 上可解析，$z_0$ 是其中的一个点

• 如果 $|f|$ 在 $z_0$ 上有极大值，则 $f(z)$ 在 $z_0$ 的邻域是一个常数
• 如果 $A$ 被围起来且 $f$ 在 $A$ 及其内部连续，则要么 $f$ 是一个常数，要么 $|f|$ 的最大值只出现在边界上

介绍调和函数 Introduction to harmonic functions

定义：函数 $u(x, y)$ 满足以下条件：

$$\nabla^2u = u_{xx} + u_{yy} = 0$$

也称拉普拉斯方程 Laplace's equation

定理：如果 $f(z) = u(x, y) + iv(x, y)$ 在区域 $A$ 可解析，则 $u$ 和 $v$ 都是调和函数

定理：如果 $u(x, y)$ 在简单闭区域调和，则 $u$ 是解析函数 $f(z) = u(x, y) + iv(x, y)$ 的实部

重要推论：$u$ 无限可导

如果 $u$ 和 $v$ 是解析函数的实部和虚部，则它们调和共轭 harmonic conjugate

调和的第二种证明：柯西积分公式

与解析函数类似：

中值性质 Mean value property：如果 $f(z)$ 在开圆盘上可解析，则

$$u(x_0, y_0) = \frac{1}{2π}\int_0^{2π} f(z_0 + re^{iθ}) \mathrm{d}θ$$

最大值原理 Maximum principle：如果 $u(x, y)$ 在连通区域 $A$ 上可解析，$z_0$ 是其中的一个点

• 如果 $u$ 在 $z_0$ 上有极大值或极小值，则 $u$ 在 $z_0$ 的邻域是一个常数
• 如果 $A$ 被围起来且 $u$ 在 $A$ 及其内部连续，则 $u$ 的最大值和最小值只出现在边界上

注意：解析函数使用模长，所以不谈最小值

引理：解析函数 $f(z) = u(x, y) + iv(x, y)$ ，则其梯度的点积为零

$$∇ u ⋅ ∇ v = 0$$

定理：$f(z) = u(x, y) + iv(x, y)$ 可解析，$f^{\prime}(z) ≠ 0$，则 $u$ 的等高线与 $v$ 的正交

一些图形：

二维流体力学和复势 Two dimensional hydrodynamics and complex potentials

流体

速度场 velocity field：$F(x, y, z) = (u(x, y, t), v(x, y, t))$

物理假设	数学结果
静止 stationary	只和 $x, y$ 有关，和 $t$ 无关：$F(x, y) = (u(x, y), v(x, y))$
不可压缩 incompressible	无散度：$\operatorname{div}F = u_x + v_y = 0$
无旋 irrotational	无旋度：$\operatorname{curl}F = v_x - u_y = 0$

和柯西-黎曼方程相似

复势

$ϕ(z)$ 是区域 $A$ 上的解析函数，$z = x + iy$

$$ϕ(z) = ϕ(x, y) + i\psi(x, y)$$

由此可以定义一个向量场

$$F = ∇ ϕ = (ϕ_x, ϕ_y) = :(u, v)$$

即此处 $u$ 和 $v$ 由 $ϕ_x$ 和 $ϕ_y$ 定义

根据我们对解析函数和调和函数的研究，得到这些函数有以下性质：

• $ϕ$ 和 $\psi$ 都是调和的
• $ϕ$ 和 $\psi$ 的等高线正交
• $ϕ^{\prime} = ϕ_x - iϕ_y$
• $F$ 是不可压缩、无旋的

一些术语：

• $ϕ$ 被称为 $F$ 的电势函数 potential function
• $ϕ$ 称为 $F$ 的复势函数 complex potential function$
• $\psi$：$F$ 的流函数 stream function
• $ϕ^{\prime}$：复速度 complex velocity

定理：假设 $F = (u, v)$ 是一个在简单连通区域 $A$ 上的不可压缩、无旋的场，则有一个解析函数 $ϕ$ 是 $F$ 的一个复势函数

定理：$F$ 在每个地方都和 $\psi$ 的等高线相切，$\psi$ 的等高线叫做流线 streamlines

驻点 stagnation point 是速度场为 0 的点，即 $ϕ^{\prime}(z) = 0$

一些函数和图形：

线性涡旋：

$$ϕ(z) = i\log(z)$$

$$F = (\frac{y}{r^2}, -\frac{x}{r^2})$$

双源点：

$$ϕ(z) = \log(z - 1) + \log(z + 1)$$

$$F = (0, \frac{2y}{y^2 + 1})$$

在均匀流中的源点：

$$ϕ(z) = z + \frac{Q}{2π}\log(z)$$

源点 + 汇点

$$ϕ(z) = \log(z - 2) - \log(z + 2)$$

泰勒和洛朗级数 Taylor and Laurent series

几何级数与幂级数

几何级数 geometric series：

$$S = a \sum_{j=0}^{∞} r^j$$

$r$ 称为几何级数比率，若 $|r| < 1$，则几何级数收敛于

$$S = \frac{a}{1-r}$$

和柯西积分公式的关系：柯西积分公式中有 $\frac{1}{w-z}$，可以写成几何级数的形式：

如果 $|z| < |w|$，则有

$$\frac{1}{w-z} = \frac 1w ⋅ \frac{1}{1-z/w} = \frac 1w(1 + (\frac zw) + (\frac zw)^2 + \cdots)$$

如果 $|z| > |w|$，则有

$$\frac{1}{w-z} = -\frac 1z ⋅ \frac{1}{1-w/z} = -\frac 1z(1 + (\frac wz) + (\frac wz)^2 + \cdots)$$

幂级数 power series：

$$f(z) = \sum_{n=0}^{∞}a_n(z-z_0)^n$$

存在 $R ≥ 0$ 使得：

• 若 $R > 0$，对于 $|z - z_0| < R$，级数绝对收敛于一个解析函数

• 对于 $|z - z_0| > R$，级数发散

• $R$ 被称为收敛半径 radius of convergence，圆盘 $|z - z_0| < R$ 称为收敛圆盘 disk of convergence

• 可以逐项求导：

  $$f^{\prime}(z) = \sum_{n=0}^{∞} na_n(z-z_0)^{n-1}$$

  导数的收敛半径也是 $R$

• 如果 $γ$ 是在收敛圆盘内的曲线，则可以逐项求积分：

  $$\int_γ f(z) \mathrm{d}z = \sum_{n=0}^{∞} \int_γ a_n(z-z_0)^n$$

注意：

• 定理没有说 $|z-z_0| = R$ 时的情况
• 如果 $R = ∞$，则函数 $f(z)$ 是整函数
• 如果 $R = 0$，则级数仅在 $z=z_0$ 处收敛，不代表一个解析函数

比值法 ratio test

若 $L = \lim_{n\to∞}|c_{n+1}/c_n|$ 存在，则：

• $L < 1$，则级数绝对收敛
• $L > 1$，发散
• $L = 1$，无法确定

根值法 root test

若 $L = \lim_{n\to∞}|c_n|^{1/n}$ 存在，则：

• $L < 1$，则级数绝对收敛
• $L > 1$，发散
• $L = 1$，无法确定

泰勒级数

泰勒定理：如果 $f(z)$ 是一个在区域 $A$ 上的解析函数，$z_0 ∈ A$，则

$$f(z) = \sum_{n=0}^{∞} a_n(z-z_0)^n$$

级数收敛于任何在 $A$ 中 $|z-z_0| < r$ 的圆盘，系数为

$$a_n = \frac{f^{(n)}(z_0)}{n!} = \frac{1}{2π i} \int_γ \frac{f(z)}{(z-z_0)^{n+1}} \mathrm{d}z$$

其中 $γ$ 是 $A$ 中 $z_0$ 周围的简单闭合曲线

这种级数称为在 $z_0$ 周围表示 $f$ 的幂级数

定理：假设 $f(z)$ 在圆盘 $|z-z_0|<r$ 上可解析且 $f$ 不为 0，则存在一个整数 $k≥ 0$，使得 $a_k ≠ 0$ 且 $f$ 有在 $z_0$ 周围的泰勒级数：

$$f(z) = (z-z_0)^k \sum_{n=k}^{∞} a_n(z-z_0)^{n-k}$$

其中的 $k$ 称为 $f$ 在 $z_0$ 处零的阶数，如果 $k = 1$，则 $z_0$ 是一个简单零 simple zero

定理：零是孤立的

如果一个函数 $f(z)$ 在 $z_0$ 处不可解析，则这个函数在该点是奇异的 singular

对于一个函数 $f(z)$，如果 $f$ 在可去圆盘 $0 < |z-z_0| < r$ 上是可解析的，则奇点 $z_0$ 是孤立奇点 isolated singularity

洛朗级数

假设 $f(z)$ 在圆环上可解析

$$r_1 < |z - z_0| < r_2$$

则 $f(z)$ 可以表示为一个级数：

$$f(z) = \sum_{n=1}^{∞} \frac{b_n}{(z-z_0)^n} + \sum_{n=0}^{∞}a_n(z-z_0)^n$$

系数的公式：

$$a_n = \frac{1}{2π i} \int_γ \frac{f(w)}{(w-z_0)^{n+1}} \mathrm{d}w$$

$$b_n = \frac{1}{2π i} \int_γ f(w)(w-z_0)^{n-1} \mathrm{d}w$$

其中 $γ$ 是在圆环中的任何圆 $|w-z_0| = r$

• 级数 $\sum_{n=0}^{∞}a_n(z-z_0)^n$ 对于 $|z-z_0| < r_2$ 收敛于一个解析函数
• 级数 $\sum_{n=1}^{∞} \frac{b_n}{(z-z_0)^n}$ 对于 $|z-z_0| > r_1$ 收敛于一个解析函数
• 两者共同收敛于一个圆环

一些术语：

• 整个级数叫做 $f$ 在 $z_0$ 周围的洛朗级数 Larent series
• 级数 $\sum_{n=0}^{∞}a_n(z-z_0)^n$ 是洛朗级数的可解析或常规部分 analytic or regular part
• 级数 $\sum_{n=1}^{∞} \frac{b_n}{(z-z_0)^n}$ 是洛朗级数的奇异或主要部分 singular or principal part

如果只有有限的系数 $b_n$ 非零，则称 $z_0$ 是 $f$ 的有限极点 finite pole。如果 $b_i ≠ 0$ 且对于所有 $n > k$，$b_n = 0$，则 $z_0$ 是 $k$ 阶极点

• 如果 $z_0$ 是一阶极点，则称为 $f$ 的一个简单极点 simple pole
• 如果无限多个 $b_n$ 非零，则 $z_0$ 是本性奇点 essential singularity 或无限阶极点
• 如果所有的 $b_n$ 都为 0，则 $z_0$ 是一个可去奇点 removable singularity

留数定理 Residue Theorem

极点和零点

如果一个函数在区域 $A$ 上可解析，则称其在 $A$ 上全纯 holomorphic

如果一个函数在区域 $A$ 上除了有限阶极点之外可解析，则其在 $A$ 上亚纯 meromorphic

函数在零点处的表现：如果 $f$ 在 $z_0$ 处有 $n$ 阶零点，则在 $z_0$ 附近

$$f(z) ≈ a_n(z-z_0)^n$$

函数在极点处的表现：如果 $f$ 在 $z_0$ 处有 $n$ 阶极点，则在 $z_0$ 附近

$$f(z) ≈ \frac{b_n}{(z-z_0)^n}$$

皮卡大定理 Picard's theorem：如果 $f(z)$ 在 $z_0$ 处有本性奇点，则在每个 $z_0$ 的领域内，$f(z)$ 取所有可能的值，只有一个例外

函数的商：假设 $f$ 在 $z_0$ 处有 $m$ 阶零点，$g$ 在 $z_0$ 处有 n$ 阶极点，$$h(z) = \frac{f(z)}{g(z)}$，则

• $n > m$，则 $h(z)$ 在 $z_0$ 处有 $n - m$ 阶极点
• $n < m$，则 $h(z)$ 在 $z_0$ 处有 $m - n$ 阶零点
• $n = m$，则 $h(z)$ 在 $z_0$ 处可解析且没有零点

即 $h(z)$ 在 $z_0$ 处有 $n - m$ 阶极点，若 $n - m$ 是负数，则极点是一个零点

$f(z)$ 在 $z_0$ 处有一个孤立奇点，洛朗级数为

$$f(z) = \sum_{n=1}^{∞} \frac{b_n}{(z-z_0)^n} + \sum_{n=0}^{∞}a_n(z-z_0)^n$$

留数

$f$ 在 $z_0$ 处的留数 residue 是 $b_1$，表示为

$$\operatorname{Res}(f, z_0) = b_1 \text{或} \operatorname{Res}_{z=z_0}f = b_1$$

留数的意义：将洛朗级数逐项求积分时，唯一的非零积分来自 $b_1 \over z$

简单极点的留数性质：

• $f(z)$ 的洛朗级数有如下形式：

  $$\frac{b_1}{z-z_0} + a_0 + a_1(z-z_0) + \cdots$$

  则 $f$ 在 $z_0$ 处有一个简单极点且 $\operatorname{Res}(f, z_0) = b_1$

• 如果

  $$g(z) = (z-z_0)f(z)$$

  在 $z_0$ 处可解析，则 $\operatorname{Res}(f, z_0) = g(z_0)$

• 如果 $f$ 在 $z_0$ 处有一个简单极点，则

  $$\lim_{z\to z_0}(z-z_0)f(z) = \operatorname{Res}(f, z_0)$$

• 如果 $f$ 在 $z_0$ 处有一个简单极点，$g(z)$ 在 $z_0$ 处可解析，则

  $$\operatorname{Res}(fg, z_0) = g(z_0) \operatorname{Res}(f, z_0)$$

  如果 $g(z_0) ≠ 0$，则

  $$\operatorname{Res}(f/g, z_0) = \frac{1}{g(z_0)} \operatorname{Res}(f, z_0)$$

• 如果 $g(z)$ 在 $z_0$ 处有一个简单零点，则

  $$\operatorname{Res}(\frac 1g, z_0) = \frac{1}{g^{\prime}(z_0)}$$

高阶极点：如果 $f(z)$ 在 $z_0$ 处有 $k$ 阶极点，则

$$g(z) = (z-z_0)^kf(z)$$

在 $z_0$ 处可解析，如果

$$g(z) = a_0 + a_1(z-z_0) + \cdots$$

则

$$\operatorname{Res}(f, z_0) = a_{k-1} = \frac{g^{(k-1)}(z_0)}{(k-1)!}$$

柯西留数定理

柯西留数定理 Cauchy's residue theorem：假设 $f(z)$ 在区域 $A$ 上除了一些孤立奇点外可解析，$C$ 是 $A$ 中的简单闭合曲线，不经过任何 $f$ 的奇点，方向为逆时针，则

$$\int_C f(z) \mathrm{d}z = 2π i ∑ \text{C 中 f 的留数}$$

无穷处的留数：

$$\operatorname{Res}(f, ∞) = -\frac{1}{2π i} \int_C f(z) \mathrm{d}z$$

定理：如果 $f$ 在 $C$ 中除了有限的奇点之外可解析，则

$$\operatorname{Res}(f, ∞) = -\operatorname{Res}(\frac{1}{w^2} f(\frac 1w), 0)$$

使用留数定理的定积分 Definite integrals using the residue theorem

函数积分

定理：假设 $f(z)$ 定义在上半平面，如果有 $a > 1$ 且 $M > 0$ 使得

$$|f(z)| < \frac{M}{|z|^a}$$

对于较大的 $|z|$，则

$$\lim_{R\to ∞} \int_{C_R} f(z) \mathrm{d}z = 0$$

其中 $C_R$ 是如下所示的半圆：

类似的，若 $f(z)$ 定义在上半平面，则积分路径如下：

定理 假设 $f(z)$ 定义在上半平面，存在 $M > 0$ 使得

$$|f(z)| < \frac{M}{|z|}$$

则

$$\lim_{x_1 → ∞, x_2 → ∞} \int_{C_1+C_2+C_3} f(z)e^{iaz} \mathrm{d}z = 0$$

其中 $C_1+C_2+C_3$ 如图所示：

下半平面的积分路径为：

三角积分：

• $e^{-iθ} = \frac 1z$
• $\cos θ = \frac{z + \frac 1z}{2}$
• $\sin θ = \frac{z - \frac 1z}{2i}$

柯西主值 Cauchy principal value：$f(x)$ 在实轴上的除了某个点 $x_1$ 外都连续

$$p.v. \int_{-∞}^{∞} f(x) \mathrm{d}x = \lim_{R → ∞, r_1 → 0} \int_{-R}^{x_1 - r_1} f(x) \mathrm{d}x + \int_{x_1 + r_1}^{R} f(x) \mathrm{d}x$$

也可以推广到多个间断点

定理：如果 $f(x)$ 有间断点 $x_1 < x_2 < … < x_n$ 且 $\int_{-∞}^{∞} f(x)$ 收敛，则 $p.v. \int_{-∞}^{∞} f(x)$ 也收敛

定理：假设 $f(z)$ 在 $z_0$ 处有简单极点，$C_r$ 是半圆 $γ(θ) = z_0 + re^{iθ}, 0 ≤ θ ≤ π$，则

$$\lim_{r → 0} \int_{C_r} f(z) \mathrm{d}z = π i \operatorname{Res}(f, z_0)$$

推广为扇形：假设 $f(z)$ 在 $z_0$ 处有简单极点，$C_r$ 是半圆 $γ(θ) = z_0 + re^{iθ}, θ_0 ≤ θ ≤ θ_0 + \alpha$，则

$$\lim_{r → 0} \int_{C_r} f(z) \mathrm{d}z = α i \operatorname{Res}(f, z_0)$$

傅里叶变换

函数 $f(x)$ 的傅里叶变换 Fourier transform 定义为：

$$\hat{f}(ω) = \int_{-∞}^{∞} f(x) e^{-ixω} \mathrm{d}x$$

傅里叶逆变换：还原函数 $f(x)$

$$f(x) = \frac{1}{2π} \int_{-∞}^{∞} \hat{f}(ω) e^{ixω} \mathrm{d}ω$$

用傅里叶变换解微分方程：

$$(\widehat{P(D)f})(ω) = P(iω) \hat{f}$$

保角变换 Conformal transformations

保角映射

如果一个角 $ϕ$ 和一个伸缩 $a>0$，对于任何经过 $z_0$ 的曲线 $γ(t)$，映射 $f$ 旋转 $z_0$ 处的切向量 $ϕ$ 并伸缩 $a$，则称 $f(z)$ 在 $z_0$ 处保角 conformal

如果 $f(z)$ 定义在区域 $A$ 上，如果 $A$ 中的每个点都是保角的，则称它是 $A$ 上的保角映射 conformal map

注意：

• 保角性是本地的现象
• 保角映射维持了曲线间的角度

用复数作为切线：

$$γ^{\prime}(t) = x^{\prime}(t) + iy^{\prime}(t)$$

切向量乘以 $c = ae^{iϕ}$ 相当于伸缩 $a$，旋转 $ϕ$

解析函数是保角的，相当于将切向量乘以 $f^{\prime}(z_0)$

黎曼映射定理 Riemann mapping theorem：如果 $A$ 简单连通且不是整个平面，则存在一个从 $A$ 到单位圆盘的双射

推论：如果对于两个区域存在双射，则称它们保角等价

分式线性变换 fractional linear transformation 是以下形式的函数：

$$T(z) = \frac{az + b}{cz + d}, ad - bc ≠ 0$$

也被称作莫比乌斯变换 Mobius transforms 或双线性变换 bilinear transforms，简称 FLT

如果 $ad - bc = 0$，则 $T(z)$ 是一个常函数

延伸到无穷：

$$T(∞) = \begin{cases} \frac ac, c ≠ 0 \\ ∞, c = 0 \end{cases}$$

$$T(-\frac dc) = ∞, c ≠ 0$$

转置：$T(z) = \frac 1z$，将圆内部的点映射到圆的外部，反之亦然

线和圆

定理：分式线性变换把线和圆映射到线和圆

找到把 $z_1, z_2, z_3$ 分别映射到 $w_1, w_2, w_3$ 的线性变换：

$$T_1(z) = \frac{(z-z_1)(z_2-z_3)}{(z-z_3)(z_2-z_1)}$$

$$T_2(w) = \frac{(w-w_1)(w_2-w_3)}{(w-w_3)(w_2-w_1)}$$

则 $T(z) = T^{-1}_2 \circ T_1(z)$ 就是所求的映射

变换的矩阵表示：

$$\begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix}$$

优点：

• 乘以 $r$ 和 FLT 一样
• $T(z) = A, S(z) = B$，则 $T \circ S(z) = AB$
• $T(z) = A = \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix}$，则 $T^{-1}(w) = A^{-1} = \begin{bmatrix} d & -b \\ -c & a \end{bmatrix}$

反射和对称

如果 $z_2$ 是 $z_1$ 关于线 $S$ 的反射，则称两者关于线 $S$ 对称 symmetric

如果 $z_1$ 和 $z_2$ 关于直线 $S$ 对称，则任何穿过两者的圆都和 $S$ 正交

把定义推广到线和圆：如果每条穿过两个点的线或圆都和线或圆 $S$ 正交，则这两个点关于 $S$ 对称

方法是通过 FLT 把圆变换为线，在使用线的对称定义

定理：如果 $S$ 是线或圆，$z_1$ 不在 $S$ 上，则存在唯一的 $z_2$ 使得 $z_1, z_2$ 关于 $S$ 对称

定理：反射 $z = x +iy = re^{iθ}$ 在单位圆上的反射是

$$\frac{1}{\bar{z}} = \frac{z}{|z|^2} = \frac{x+iy}{x^2 + y^2} = \frac{e^{iθ}}{r}$$

定理：圆 $S$ 的中心 $c$ 关于圆的对称是无穷

狄利克雷问题：在边界处求解微分方程

函数为：

$$u(x, 0) = \begin{cases} c_0, x < x_1 \\ c_1, x_1 < x < x_2 \\ c_2, x_2 < x < x_3 \\ c_3, x_3 < x \end{cases}$$

写成这种形式：

$$u(x, y) = c_3 + (c_2 - c_3)\frac{θ_3}{π} + (c_1 - c_2)\frac{θ_2}{π} + (c_0 - c_1)\frac{θ_1}{π}$$

单位圆上的调和函数：

$$u(e^{iθ}) = \begin{cases} 1, -\frac{π}{2} < θ < \frac{π}{2} \\ 0, \frac{π}{2} < θ < \frac{3π}{2} \end{cases}$$

米尔恩-汤姆森圆定理 Milne-Thomson circle theorem：如果 $f(z)$ 是复势，所有的奇点都在 $|z| = R$ 外，则

$$ϕ(z) = f(z) + \overline{f(\frac{R}{\bar{z}})}$$

是一个流线在 $|z| = R$ 的复势，和 $f$ 相同的奇点都在区域 $|z| > R$

辐角原理 Argument Principle

辐角原理

辐角原理 Argument Principle：$γ$ 是简单闭合曲线，逆时针方向；$f(z)$ 在 $γ$ 上和内部可解析，除了一些 $γ$ 内部的有限极点和零点，$p_1, \dots, p_m$ 是 $γ$ 内部的 $f$ 的极点，$z_1, \dots, z_n$ 是零点，$\operatorname{mult}(z_k) = z_k$ 处零点的阶数，$\operatorname{mult}(p_k) = p_k$ 处极点的阶数

$$\int_γ \frac{f^{\prime}(z)}{f(z)} \mathrm{d}z = 2π i (∑ \operatorname{mult}(z_k) - \operatorname{mult}(p_k))$$

$Z_{f, γ}$ 为 $f$ 在 $γ$ 内部零点的乘数的和，$P_{f, γ}$ 类似，则

$$\int_γ \frac{f^{\prime}}{f} \mathrm{d}z = 2π i (Z_{f, γ} - P_{f, γ})$$

如果 $γ$ 是一个闭合曲线，则可以通过柯西公式定义它在 $z_0$ 处的卷绕数 turning number 或指标 index 为：

$$\operatorname{Ind}(γ, z_0) = \frac{1}{2π i} \int_γ \frac{1}{z-z_0} \mathrm{d}z$$

$z = γ(t)$ 是一条曲线，$w = f(z)$ 是一个函数，则 $w = f \circ γ(t)$ 是另一条曲线，称 $f$ 把 $γ$ 映射成 $f \circ γ$

完整的辐角原理 Argument Principle：

$$\int_γ \frac{f^{\prime}(z)}{f(z)} \mathrm{d}z = 2π i (Z_{f, γ} - P_{f, γ}) = 2 π i\operatorname{Ind}(f \circ γ, 0)$$

推论：如果 $f \circ γ$ 没有经过 $-1$，则

$$\int_γ \frac{f^{\prime}}{f + 1} = 2 π i\operatorname{Ind}(f \circ γ, -1) = 2π i (Z_{1+f, γ} - P_{f, γ})$$

鲁歇定理 Rouche's theorem：$γ$ 是简单闭合曲线，$f, h$ 是 $γ$ 上和内部的解析函数，除了一些有限极点，$f, h$ 在 $γ$ 上内有极点，$|h| < |f|$ 在 $γ$ 上恒成立，则

$$\operatorname{Ind}(f \circ γ, 0) = \operatorname{Ind}((f+h) \circ γ, 0)$$

即

$$Z_{f, γ} - P_{f, γ} = Z_{f+h, γ} - P_{f+h, γ}$$

推论，如果 $f, h$ 可解析（没有极点），则

$$Z_{f, γ} = Z_{f+h, γ}$$

奈奎斯特稳定判据

系统函数 system function 是一个复变量函数，通常用 $G(s)$ 表示

• 如果 $G$ 是所有极点都在左半平面，则系统稳定 stable

• 如果有极点在右半平面，则不稳定 unstable

• 如果没有极点有正实部，但有一些纯虚数，则称该系统临界稳定 marginally stable

通常用极点-零点图 pole-zero diagram 可视化 $G(s)$，例如

一个不稳定的系统 $G(s)$ 可以通过负反馈环路 negative feedback loop 变稳定，新系统叫做闭环系统 closed loop system，其系统函数通过布莱克公式给出：

$$G_{CL}(s) = \frac{G(s)}{1+kG(s)}$$

$k$ 是反馈因子 feedback factor，$G(s)$ 叫做开环系统函数 open loop system function

定理：$G_{CL}(s)$ 的极点是 $1+kG(s)$ 的零点

曲线 $γ$ 始终在虚轴上，即

$$s = γ(ω) = iω, ∞ < ω < ∞$$

给定系统 $G(s)$ 和 $k$ 尼奎斯特曲线 Nyquist plot 如下：

$$w = kG \circ γ(ω) = kG(iω)$$

即尼奎斯特曲线是虚轴在映射 $w = kG(s)$ 的图像

奈奎斯特稳定判据 Nyquist stability criterion：$G_{CL}(s)$ 是稳定的 $⇔ \operatorname{Ind}(k G \circ γ, -1) =$ 右半平面 $G(s)$ 的极点数

拉普拉斯变换 Laplace transform

信号与系统

信号 signal 是时间的函数

系统 system 是某个机器或程式，其接受一个信号作为输入 input，对其做一些处理，并产生其它信号作为输出 output

线性系统 linear system 接受输入 $c_1f_1 + c_2f_2$，产生输出 $c_1y_1 + c_2y_2$

如果对于输入 $f(t-a)$ 产生输出 $y(t-a)$，则该系统时间不变 time invariant，简称 LTI 系统

拉普拉斯变换

函数 $f(t)$ 的拉普拉斯变换 Laplace transform：

$$\mathcal{L}(f;s) = \int_0^∞ e^{-st}f(t) \mathrm{d}t = F(s)$$

注意：拉普拉斯变换只关注 $t ≥ 0$ 的部分，所以一般要求 $f(t) = 0, t < 0$

和傅里叶变换的关系：（事实上，拉普拉斯变换又被称作傅里叶-拉普拉斯变换）

傅里叶变换：

$$\hat{f}(ω) = \int_{-∞}^{∞} f(t) e^{-iω t} \mathrm{d}t$$

假设 $f(t) = 0, t < 0$，变成

$$\hat{f}(ω) = \int_{0}^{∞} f(t) e^{-iω t} \mathrm{d}t$$

令拉普拉斯变换中的 $s = iω$，则

$$\mathcal{L}(f;iω) = \int_{0}^{∞} f(t) e^{-iω t} \mathrm{d}t$$

两者相同

如果存在 $M$ 使得对于所有 $t ≥ 0$，$|f(t)| < Me^{at}$，则称 $f(t)$ 有指数类型 a

定理：如果 $f$ 有指数类型 a，则对于 $\operatorname{Re}(s) > a$，$\mathcal{L}(f)$ 绝对收敛

性质

• 拉普拉斯变换是线性的，即

$$\mathcal{L}(af + bg) = a\mathcal{L}(f) + b\mathcal{L}(g)$$

• 拉普拉斯变换把 $t$ 的导数变成 $s$ 的倍数（加上一些细节），即

$$\mathcal{L}(f^{\prime}(t); s) = sF(s) - f(0), \text{对} \operatorname{Re}(s) > a \text{有效}$$

进一步推广：

$$\mathcal{L}(f^{\prime \prime}(t); s) = s^2F(s) - sf(0) - f^{\prime}(0)$$

• 如果 $f(t)$ 有指数类型 a，则 $F(s)$ 对于 $\operatorname{Re}(s) > a$ 是解析函数且

$$F^{\prime}(s) = - \mathcal{L}(tf(t); s)$$

也称 s-导数法则 s-derivative rule，可延伸到更多阶导数：

$$\mathcal{L}(t^n f(t); s) = (-1)^n F^{(n)}(s)$$

• t-移位法则 t-shift rule

$$\mathcal{L}(f(t - a); s) = e^{-as}F(s)$$

系统函数和拉普拉斯变换

对非齐次微分方程拉普拉斯变换得到：

$$P(s)Y(s) = F(s)$$

令 $G(s) = \frac{1}{P(s)}$，也就是系统函数（也称为转换函数 transfer function，因为总是把输入转换成输出），则

$$Y(s) = G(s) ⋅ F(s)$$

该公式用文字表述：

输出 = 系统函数 $\times$ 输入

定理：$f$ 和 $g$ 连续，对于所有的 $\operatorname{Re}(s) > a$ 的 $s$，$F(s) = G(s)$，则 $f(t) = g(t), t ≥ 0$

拉普拉斯变换的逆：

• 假设 $f$ 连续且有指数类型 a，则对于 $c > a$，有

$$f(t) = \frac{1}{2 π i} \int_{c-i∞}^{c+i∞} F(s) e^{st} \mathrm{d}s$$

• 假设 $F(s)$ 有有限个数的极点且退化类似 $\frac 1s$，则

$$f(t) = ∑ \operatorname{Res}(F(s)e^{st}, p_k)$$

对于 $h(t) = f(t-a)$，则称 $h(t)$ 是 $f(t)$ 的延时版本

$$H(s) = e^{-as}F(s)$$

有延时的闭环系统为

$$G_{CL}(s) = \frac{G}{1+ke^{-as}G}$$

拉普拉斯变换表

性质和规则：

函数	变换	名称
$f(t)$	$F(S) = \int_0^∞ e^{-st}f(t) \mathrm{d}t$	定义
$af(t) + bg(t)$	$aF(s) + bG(s)$	线性
$e^{at}f(t)$	$F(s-a)$	s-位移
$f^{\prime}(t)$	$sF(s) - f(0)$
$f^{\prime \prime}(t)$	$s^2F(s) - sf(0) - f^{\prime}(0)$
$tf(t)$	$-F^{\prime}(s)$
$t^n f(t)$	$(-1)^n F^{(n)}(s)$
$f(t-a)$	$e^{-as}F(s)$	t-位移
$\int_0^t f(\tau) \mathrm{d}\tau$	$\frac{F(s)}{s}$	积分法则
$\frac{f(t)}{t}$	$\int_s^∞ f(\sigma) \mathrm{d}\sigma$

函数表：

函数	变换	收敛域
$1$	$\frac 1s$	$\operatorname{Re}(s) > 0$
$e^{at}$	$1 \over s-a$	$\operatorname{Re}(s) > \operatorname{Re}(a)$
$t$	$1 \over s^2$	$\operatorname{Re}(s) > 0$
$t^n$	$n! \over s^{n+1}$	$\operatorname{Re}(s) > 0$
$\cos(ω t)$	$s \over s^2 + ω^2$	$\operatorname{Re}(s) > 0$
$\sin(ω t)$	$ω \over s^2 + ω^2$	$\operatorname{Re}(s) > 0$
$δ(t)$	$1$	$\operatorname{Re}(s) > 0$