MIT 6.007：信号与系统

引言 Introduction

信号 signal：一个或多个自变量的函数，变量中携带者某种信息

系统 system：用来处理信号

信号分为连续时间信号和离散时间信号（只取整数值）

分类：

• 线性-非线性
• 时变-时不变

系统连接：

• 级联
• 平行
• 反馈

分析和表示的两个域：

• 时域
• 频域

信号与系统 Signals and Systems

连续正弦信号：

$$x(t) = A \cos (ω_0 t + ϕ)$$

周期性：

$$x(t) = x(t + T_0)$$

其中 $T_0 = \frac{2π m}{ω_0}$，即周期为 $\frac{2π}{ω_0}$

时间位移 <=> 相位变化：$A\cos(ω_0(t+t_0)) = A\cos(ω_0 t + ω_0 t_0)$

偶函数 - 偶信号，奇函数 - 奇信号

离散正弦信号：

$$x[n] = A \cos (Ω_0 n + ϕ)$$

“时间”位移 => 相位变化，反过来不行，因为不一定是个整数

也正是这个原因，$\frac{2π m}{ω_0}$ 不一定是个整数，故不一定有周期性，即当且仅当 $Ω = \frac{2π m}{N}$ 时，有周期性

连续实指数：

$$x(t) = C e^{at}$$

时间位移 <=> 大小变化

离散实指数：

$$x[n] = C a^n$$

连续复指数：

$$x(t) = C e^{at}$$

其中 $C = |C|e^{jθ}, a= r+jω_0$，则写成实部和虚部的形式：

$$x(t) = |C|e^{rt} \cos(ω_0 t + θ) + j |C| e^{rt} \sin(ω_0 t + θ)$$

离散形式一致

离散单位阶跃函数 unit step：

$$u[n] = \begin{cases}1, n ≥ 0 \\ 0, n < 0 \end{cases}$$

离散单位脉冲函数 unit impluse：$δ[n]$

两者的关系：

$$δ[n] = u[n] - u[n-1]$$

即单位脉冲函数是单位阶跃函数的一阶差分

反过来：

$$u[n] = \sum_{m=-∞}^n δ[m]$$

连续单位阶跃函数：

$$u(t) = \begin{cases}1, t > 0 \\ 0, t < 0 \end{cases}$$

可以把它看作这个函数的极限：

连续单位脉冲函数：

$$δ(t) = \frac{\mathrm{d}u(t)}{\mathrm{d}t}$$

或者采用上面函数的极限形式：

$$δ(t) = \frac{\mathrm{d}u_Δ(t)}{\mathrm{d}t}, Δ → 0$$

同理，两者的关系是微分-积分：

$$u(t) = \int_{-∞}^t δ(τ) \mathrm{d}τ$$

系统级联 cascade

并联 Parallel

系统属性：

无记忆性：特定时间点上的输出只和当时输入有关

$$y(t) @ t = t_0 ← x(t) @ t = t_0$$

可逆性：

如果 B = A 的逆，则 $y_2 = x_1$

因果性 causality：

• 任何时间的输出只和当前及之前的输入有关
• 系统无法预测未来的输出
• $x_1(t) → y_1(t), x_2(t) → y_2(t)$，如果 $x_1(t) = x_2(t), t < t_0$，则 $y_1(t) = y_2(t), t < t_0$

稳定性：对于每个有界输入，输出有界

时不变：$x(t) → y(t)$，则 $x(t-t_0) → y(t-t_0)$

线性：$x_1(t) → y_1(t), x_2(t) → y_2(t)$，则 $ax_1(t) + bx_2(t) → ay_1(t) + by_2(t)$

卷积 Convolution

讨论线性时不变系统：将信号分解成一系列信号的线性组合

• 延迟脉冲 - 卷积
• 复指数 - 傅里叶分析

写成表达式：

$$x[n] = \sum_{k=-∞}^{+∞} x[k] δ[n-k]$$

如果 $δ[n-k] → h_k[n]$，并令 $h[n-k] = h_k[n]$，即 $h[n]$ 为系统的单位脉冲响应，则其输出表示为

$$y[n] = \sum_{k=-∞}^{+∞}x[k]h[n-k]$$

从另一个角度看，根据线性，每一个分量单独作用于系统并求和得到总输出，根据时不变，每个分量单独作用于系统的输出和零时刻作用有一个时移的区别

连续形式相似，分解成一个个小矩形

$$x(t) = \int_{-∞}^{+∞} x(τ) δ(t-τ) \mathrm{d}τ$$

输出：

$$y(t) = \int_{-∞}^{+∞} x(τ) h(t-τ) \mathrm{d} τ$$

本质上使用线性时不变将系统表示成 0 时刻的脉冲信号经过该系统后的响应

离散卷积：

$$y[n] = x[n] * h[n]$$

连续同理

卷积演示：翻转-移动-求和

线性时不变系统的性质 Properties of Linear, Time-invariant Systems

卷积的性质

交换律：

$$x * h = h * x$$

表示输入和系统可以交换

结合律：

$$x * (h_1 * h_2) = (x * h_1) * h_2$$

两者结合，表示级联中两个系统可以交换先后顺序

分配律：

$$x * (h_1 + h_2) = x * h_1 + x * h_2$$

表示并联可以等效为一个新的系统

无记忆性：

$h(t-τ)$ 只在 $t = τ$ 处非零，即 $h(t) = kδ(t)$

所以输出 $y(t) = kx(t)$

可逆性：

$y = x * (h * h_i) = x$

则 $h_i = h^{-1}$

稳定性：

$$\sum_{k=-∞}^{+∞} |h[k]| < ∞$$

$$\int_{-∞}^{+∞} |h[τ]| \mathrm{d} τ < ∞$$

对于线性系统：

零输入响应：

$∀ t, x(t) = 0 → ∀ t, y(t) = 0$

因果性：

如果 $t < t_0, x(t) = 0$，则 $t < t_0, y(t) = 0$，即在没有输入之前，系统不会做出响应（初始松弛）

如果加入时不变性质，则：因果性 <=> $h(t) = 0, t < 0$

之前定义的 $δ(t)$ 听着就很不严谨，例如对于 $r_{Δ}(t) = δ_{Δ}(t) * δ_{Δ}(t) = δ_{Δ}(t)$

两者的形状不同

并且对于微分器，$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t} δ(t) = ?$

所以这边从操作的角度定义 $δ(t)$：

$$x(t) * δ(t) = x(t)$$

考虑之前说的微分器：

$$u_k(t) = u_1(t) * u_1(t) * …$$

$$x(t) * u_k(t) = \frac{\mathrm{d}^k x(t)}{\mathrm{d} t}$$

其中 $u_0(t) = δ(t)$

从积分器的角度来讲同样成立：

$$u_{-1}(t) = u(t)$$

用微分和差分方程表示系统 Systems Represented by Differential and Difference Equations

N 阶常系数线性微分方程：

$$\sum_{k=0}^N a_k \frac{\mathrm{d}^k y(t)}{\mathrm{d} t^k} = \sum_{k=0}^M b_k \frac{\mathrm{d}^k x(t)}{\mathrm{d} t^k}$$

N 阶常系数线性差分方程：

$$\sum_{k=0}^N a_k y[n-k] = \sum_{k=0}^M b_k x[n-k]$$

对于微分方程，齐次解：

$$\sum_{k=0}^N a_k \frac{\mathrm{d}^k y_h(t)}{\mathrm{d} t^k} = 0$$

形式为：$y_h(t) = Ae^{st}$

代入得到条件：$\sum_{k=0}^N a_k s^k = 0$

而结果 $y_h(t) = A_1 e^{s_1 t} + A_2 e^{s_2 t} + … + A_N e^{s_N t}$

注意到一个条件解不出系数，所以需要 N 个附加条件：$t = t_0$ 处 $y(t), \frac{\mathrm{d} y(t)}{\mathrm{d} t}, …, \frac{\mathrm{d}^{N-1} y(t)}{\mathrm{d} t^{N-1}}$

线性系统：附加条件 = 0

因果的线性时不变系统：初始松弛

对于差分方程，同理，但是猜测的齐次解的形式为 $Az^n$

但其不同在于系统的明确的输入-输出关系，即可以写成递归形式：

$$y[n] = \frac{1}{a_0} \Big(\sum_{k=0}^M b_k x[n-k] - \sum_{k=1}^N a_k y[n-k]\Big)$$

对于差分方程 $y[n] = x[n] + ay[n-1]$，可以用框图表示

推广到更一般的情况：

可以注意到整个系统分成了左右两个线性定常系统，这两个系统的顺序可以交换，注意到中间的延迟器功能重合了，可以合并，故得到：

这种做法减小了硬件消耗

连续时间傅里叶级数 Continuous-Time Fourier Series

之前的做法是把输入分解成单位脉冲，这次的做法是分解为复指数的线性组合，即其中 $ϕ_k(t) = e^{s_k t}$

基本构建模块有两个属性：

• 系统响应可直接计算
• 可用于构建多种信号

这里考虑的是纯虚数的情况：

• 连续：$s_k = jω_k, ϕ_k(t) = e^{jω_k t}$
• 离散：$|z_k| = 1, ϕ[n] = e^{iΩ_kn}$

本征函数 eigenfunction 响应的形式与输入完全一致，只相差了一个复合因子，这个因子叫本征值

$$e^{jω_kt} → H(ω_k) e^{jω_kt}$$

周期信号：傅里叶级数

非周期信号：傅里叶变换

先考虑傅里叶级数：

$e^{jkω_0t} → \frac{T_0}{k} = \frac{2π}{kω_0}$ 当 k 变化时，相当于谐波相关 harmonically-related 复指数

傅里叶级数也有展开成正弦和余弦的形式，这里使用复指数的形式是因为其同时处理了正频率和负频率的情况

傅里叶级数综合方程（即从复指数中构建 $x(t)$）：

$$x(t) = \sum_{k=-∞}^{+∞} a_k e^{jkω_0 t}$$

分析方程：

$$a_k = \frac{1}{T_0} \int_T x(t) e^{-jkω_0t} \mathrm{d}t$$

信号除了在不连续点以外，每个点都有正确值

连续时间傅里叶变换 Continuous-Time Fourier Transform

对于非周期信号

• 通过周期性复制这个非周期信号，构建一个周期信号
• 傅里叶级数得出结论
• 最后令周期趋向于无穷

即：

$$\tilde{x}(t) = x(t), |t| < \frac{T_0}{2}$$

$$T_0 → ∞, \tilde{x}(t) → x(t)$$

最后得出傅里叶变换的综合方程：

$$x(t) = \frac{1}{2π} \int_{-∞}^{+∞} X(ω) e^{jω t} \mathrm{d} ω$$

分析方程：

$$X(ω) = \int_{-∞}^{+∞} x(t) e^{-jω t} \mathrm{d} t$$

其中 $X(ω)$ 是 $T_0 a_k$ 的包络线，$a_k$ 是这个包络函数的样本

故傅里叶级数只是对这些样本的一些采样，当周期无限大时，采样数量无限多，就成了傅里叶变换

傅里叶变换对：

$$x(t) \stackrel{\mathcal{F}}{↔} X(ω)$$

波特图：

• $20\log_{10} |X(ω)|$ 单位是 dB
• $X(ω)$ 的幅角

用傅里叶变换表示傅里叶级数：

如果 $\tilde{x}(t)$ 是周期的，$x(t)$ 为其中的一个周期，则傅里叶级数系数 = $\frac{1}{T_0} × x(t)$ 的傅里叶变换

而其傅里叶变换被定义为脉冲串：$\tilde{X}(ω) = \sum_{k=-∞}^{+∞} 2 π a_k δ(ω-kω_0)$

傅里叶变换特性 Fourier Transform Properties

傅里叶变换的对称性：共轭对称：即 $x(t)$ 是实数，则 $X(-ω) = X^*(ω)$

• 实部：偶，虚部：奇
• 幅度：偶，幅角：奇

时域的线性缩放比例到了频域，就是该缩放比例的倒数，即

$$x(at) \stackrel{\mathcal{F}}{↔} \frac{1}{|a|} X(\frac{ω}{a})$$

观察到两个方程非常相似，即有对偶关系：

若

$$x(t) \stackrel{\mathcal{F}}{↔} X(ω)$$

则

$$X(t) \stackrel{\mathcal{F}}{↔} 2 π x(-ω)$$

帕萨瓦尔关系 Parseval's relationship：时间函数的能量和其傅里叶变换的能量是比例关系，即

$$\int_{-∞}^{+∞} |x(t)^2| \mathrm{d} t = \frac{1}{2π} \int_{-∞}^{+∞} |X(ω)^2| \mathrm{d} ω$$

对于周期函数，一个周期即有代表性，故

$$\frac{1}{T_0} \int_{T_0} |\tilde{x}(t)^2| \mathrm{d} t = \sum_{k=-∞}^{+∞} |a_k|^2$$

时间平移：时间平移对应频域的相位的线性变化

$$x(t-t_0) \stackrel{\mathcal{F}}{↔} e^{-jω t_0} X(ω)$$

微分：

$$\frac{\mathrm{d}x(t)}{\mathrm{d}t} \stackrel{\mathcal{F}}{↔} jω X(ω)$$

积分：

$$\int_{-∞}^t x(τ) \mathrm{d}τ \stackrel{\mathcal{F}}{↔} \frac{1}{jω} X(ω) + π X(0)δ(ω)$$

线性：

$$ax_1(t) + bx_2(t) \stackrel{\mathcal{F}}{↔} aX_1(ω) + bX_2(ω)$$

卷积：

$$h(t) * x(t) \stackrel{\mathcal{F}}{↔} H(ω) X(ω)$$

卷积特性的解释：如果将信号分解成一系列复指数，当信号通过线性时不变系统时，这些复指数分别得到频率响应的修正，即用频率响应乘以构成输入的复指数的振幅，其总和即将输出分解成复指数的形式

滤波 filter：对一个信号中的频率成分修正

理想滤波器：只允许一个频率范围的频率通过

之前提到的微分器也可以作为滤波器，放大高频，减弱低频

和卷积特性对偶的是调制特性：

$$s(t)p(t) \stackrel{\mathcal{F}}{↔} \frac{1}{2π} [S(ω) * P(ω)]$$

用傅里叶变换解线性常系数微分方程：

1. 两边作傅里叶变换
2. 得出 $y(t)$ 的傅里叶变换 $Y(ω)$，$X(ω)$ 前的系数就是 $H(ω)$
3. 两边作傅里叶逆变换，主要靠记忆傅里叶变换的结论

离散时间傅里叶级数 Discrete-Time Fourier Series

注意到 $e^{jkΩ_0 n} = e^{j(k+N)Ω_0n}$，即有周期性，故离散时间傅里叶级数的综合方程：

$$x[n] = \sum_{k=<N>} a_k e^{jkΩ_0n}$$

分析方程：

$$a_k = \frac{1}{N} \sum_{n=<N>} x[n] e^{-jkΩ_0n}$$

即离散形式和连续形式的傅里叶级数 $x[n]$ 和 $e^{jkΩ_0n}$ 对 $n$ 都有周期性，但是只有离散形式在 $k$ 上 $a_k$ 和 $e^{jkΩ_0n}$ 有周期性

使用和之前一样的方法，容易得到离散时间傅里叶变换：

$$x[n] = \frac{1}{2π} \int_{2π} X(Ω) e^{jΩ n} \mathrm{d} Ω$$

$$X(Ω) = \sum_{n=-∞}^{+∞} x[n] e^{-j Ω n}$$

注意到包络函数也是有周期性的

连续时间和离散时间傅里叶变换的不同点：

• 离散的在时域中是离散的，但在频域中是连续的
• 离散时间信号，随着改变频率，一旦覆盖了 $2π$ 的频率区间，就看到了所有结果，即其频域有周期性

离散时间傅里叶变换 Discrete-Time Fourier Transform

离散时间傅里叶变换和连续时间的有相同的

• 对称性
• 时间移动
• 频率移动
• 线性
• 帕萨瓦尔关系
• 卷积

对于滤波，因为复指数有对称性，故低频在 $-π$ 到 $π$ 之间

同样可以用于解差分方程，其中一阶差分方程 $y[n] - ay[n-1] = x[n]$ 是一个滤波方程，若 $0 < a < 1$，则放大低频；若 $-1 < a < 0$，则放大高频

调制：区别在于卷积积分只需要计算一个周期

$$x_1[n]x_2[n] \stackrel{\mathcal{F}}{↔} \frac{1}{2π} \int_{2π} X_1(θ) X_2(Ω - θ) \mathrm{d} θ$$

特殊的调制信号：$x_1[n] = (-1)^n = e^{j π n}$，其作用相当于将其他信号的频谱平移 $π$，即低频高频互换

总结一下：

	连续	离散
傅里叶级数	$x(t) = \sum_{k=-∞}^{+∞} a_k e^{jkω_0 t}$ $a_k = \frac{1}{T_0} \int_T x(t) e^{-jkω_0t} \mathrm{d}t$	$x[n] = \sum_{k=} a_k e^{jk(\frac{2π}{N})n}$ $a_k = \frac{1}{N} \sum_{n=} x[n] e^{-jk(\frac{2π}{N})n}$
傅里叶变换	$x(t) = \frac{1}{2π} \int_{-∞}^{+∞} X(ω) e^{jω t} \mathrm{d} ω$ $X(ω) = \int_{-∞}^{+∞} x(t) e^{-jω t} \mathrm{d} t$	$x[n] = \frac{1}{2π} \int_{2π} X(Ω) e^{jΩ n} \mathrm{d} Ω$ $X(Ω) = \sum_{n=-∞}^{+∞} x[n] e^{-j Ω n}$

连续傅里叶级数和离散傅里叶变换没有对偶性，但是彼此有对偶性

滤波 Filtering

离散情况一致，只是有周期性

理想低频滤波器脉冲响应是 $\frac{\sin x}{x}$ 的形式，注意到其不具有因果性，即向负无穷和正无穷无限延伸，故在实践中无法制造

当受到阶跃信号的激励，会得到一个振荡曲线，这是不想看到的

所以使用非理想滤波器：

一个简单的 RC 振荡电路就是一个非理想滤波器：

微分方程：$RC \frac{\mathrm{d}v_c(t)}{\mathrm{d}t} + v_c(t) = v_s(t)$

得到电容和电阻两端的电压：

离散情况有移动平均滤波器：

三点移动平均：

$$y[n] = \frac 13(x[n-1] + x[n] + x[n+1])$$

更一般的是加权移动平均：

$$y[n] = \sum_{k=-N}^M b_k x[n-k]$$

递归滤波器：输出值不仅取决于输入，也取决于之前的输出

$$\sum_{k=0}^N a_k y[n-k] = \sum_{k=0}^{M} b_k x[n-k]$$

连续时间调制 Continuous-Time Modulation

调制 modulation：用一个信号来改变另一个信号的参数

例如，对于正弦信号，参数有振幅，频率，相位

调幅：时域的相乘与频域的卷积相关

指数载波：$c(t) = e^{j(ω_c t + θ_c)}$

其频域为：

因此与原有信号卷积相当于平移原来的信号：

解调，即平移回去的方法是乘 $e^{-j(ω_c t + θ_c)}$

生成复指数载波的方法是使用欧拉公式将正交的两个正弦信号组合：

使用理想低频滤波器滤高频的方法：先将信号平移，滤波，再平移回去

正弦载波：$c(t) = \cos(ω_c t + θ_c) = \frac 12e^{j(ω_c t + θ_c)} + \frac 12e^{-j(ω_c t + θ_c)}$

其作用在频率上相当于将原信号移动到两个地方：

解调的方法是再次乘以相同的正弦信号，并滤波：

移动频率的原因：

• 便于在某种介质中传播
• 不同信号在同一信道中同时传播

频分复用 frequency division multiplexing：将不同信号调制到不同频率的载波上，最终产生一个频带更宽的信号，其同时囊括了所有信号的信息

解调时先多路解调，提取想要的信道，然后解调还原信号

以上所有的调幅都是同步的，即发射器和接收器的相位 $θ_c$ 必须一致，否则解调出的信号振幅上有变化 $\cos(θ_c - ϕ_c)x(t)$，该比例系数会造成一些后果：

• 输出可能会非常小，信噪比非常低
• 相位差可能不稳定

异步解调：想要还原的是信号的包络线：

解调的电路如下：

其差不多得到了包络线：

所以一个解决方法是调制信号 $x(t)$ 不呈现负极性，即加上一个常数：$y(t) = [A + x(t)] \cos ω_c t$

当 $A$ 较大时，更平缓，容易追踪；较小时则不容易

但问题在于载波不是信号的信息承载部分，载波增加，传播效率降低

因此存在取舍，要具体问题具体分析：

• 传播效率低，能耗大，但是解调器结构简单
• 解调器结构复杂，但是传播简单

注意到在正弦调制时得到的两半信号有重复的部分，可以滤掉两边各一半信号，即单边带通讯 single-sideband

这里面也有取舍，即提高了效率，但是调制器变复杂了

离散时间调制 Discrete-Time Modulation

离散情况的指数载波和正弦载波和连续时间的一样，只是频率多了周期性

脉冲序列：将原始信号中提取出一个序列

脉冲的间隔即脉冲的频率：

调制后的信号在这些位置被复制：

故只要脉冲序列的频率大于 $x[t]$ 的最大频率，则三角形不会重合，直接低频滤波即得到原始信号

时分复用：把不同信号置于互不重叠的时间段中：

注意到时间宽度无关，所以理论上可以取无限小，传递无数的信号，但是会受到噪声的影响

而取极限后就成为了一个脉冲序列

如果 $Ω_m > Ω_s - Ω_m$，则会重叠在一起，无法还原，叫做混叠 aliasing

以上的过程叫采样 sample，产生的脉冲序列就是原始连续时间信号的取样值序列

采样定理：已知时间函数的等间隔采样，且时间函数的带宽有限，若采样函数的频率与带宽相比能符合要求，则原始时间函数能通过低通滤波器进行还原

这启示我们连续时间信号可以用离散时间信号表示，即其连接了连续和离散时间信号

采样 Sampling

注意到在输入频率加大的过程中，采样后“还原”的输出频率先增大后减小，但是输出的信号的采样和输入信号的采样始终相同

一般情况下都希望避免混叠，但是有时也很有用，如当想要观察的事物因为某种原因看不到时，可以采样和混叠把这些事物用较低频率表示，如频闪

插值 Interpolation

重构：采样后的信号的对频域滤波

从时域的角度来看，有 $x_p(t) = \sum_{n=-∞}^{+∞} x(nT) δ(t-nT)$ 和 $x_r(t) = x_p(t) * h(t)$，故重构信号就是位移过的脉冲响应的线性组合，即

$$x_r(t) = \sum_{n=-∞}^{+∞} x(nT) h(t-nT)$$

零阶保持器 zero order hold：求插值的方法是保持样本值直到下一个采样时刻，即

线性插值或一阶保持器：用直线连接两个样本

三种插值函数的频域如下图：

连续信号的离散化处理：

第一步：连续/离散转换：将连续时间信号转化为脉冲信号（通过采样），将脉冲序列转化为离散时间序列（重新标号）

第一阶段：从频域上，有 $X_p(ω) = \frac{1}{2π} [X_c(ω) * P(ω)]$ 和 $P(ω) = \frac{2π}{T} \sum_{k=-∞}^{+∞} δ(ω - k\frac{2π}{T})$，得到采样后的傅里叶变换是移位后的原始信号的傅里叶变换：

$$X_p(ω) = \frac{1}{T} \sum_{k=-∞}^{+∞} X_c(ω - k\frac{2π}{T})$$

第二阶段：

$$X_p(ω) = \sum_{n=-∞}^{+∞} x_c(nT) e^{-jω nT}$$

$$X(Ω) = \sum^{+∞} x[n] e^{jΩ}n$$

对比一下可以得到 $X(Ω) = X_p(Ω / T)$

故整个过程在时域上是采样并重标号，在频域上是复制并缩放至周期为 $2π$

连续时间信号的离散化处理 Discrete-Time Processing of Continuous-Time Signals

为了避免混叠，通常在前面加入一个抗混叠滤波器来限制带宽

如果中间的处理函数是一个数字滤波器，其滤波带宽是固定的，可以通过控制采样频率来改变整个系统滤掉的频率

离散时间采样 Discrete-Time Sampling

与连续时间采样一致

抽取 decimation：将采样后的离散信号中的 0 剔除出去

降采样 down sampling：改变采样率

重建就是一个插入 0 的过程

采样率转换：采样时的周期为 $T_1$，重建时假设的采样周期是 $T_2$，若 $T_2 = \frac 32 T_1$，则先升采样 2:1，再降采样 1:3

类似的，频域上也可进行采样，过程类似

拉普拉斯变换 The Laplace Transform

在傅里叶变换中选择 $e^{jω t}$ 做基的原因是它是特征函数，但还有一个特征函数是 $e^{st}$，其中 $s = σ + jω$

故拉普拉斯变换为：

$$X(s) = \int_{-∞}^{+∞} x(t) e^{-st} \mathrm{d}t$$

变换对组：

$$x(t) \stackrel{\mathcal{L}}{↔} X(s)$$

对比拉普拉斯变换和傅里叶变换的积分表达式

以拉普拉斯变换解释傅里叶变换：当 $s=jω$ 时，两者相等，即：

$$X(jω) = \mathcal{F}(x(t)) = X(ω)$$

但是可以发现两边记号并不相等，在傅里叶变换的记号中，既是 $ω$ 的函数，也是 $jω$ 的函数，所以改变傅里叶变换的记法就合上了 $\mathcal{F}(x(t)) = X(jω)$

以傅里叶变换解释拉普拉斯变换：相当于傅里叶变换乘以一个衰减的函数 $e^{-σ t}$

$$X(s) = \mathcal{F} (x(t) e^{-σ t})$$

所以当 $\mathcal{F}$ 不收敛时，$\mathcal{L}$ 可能收敛

根据傅里叶变换的收敛性，可以得到拉普拉斯变换：

$$e^{-at} u(t) \stackrel{\mathcal{L}}{↔} \frac{1}{s+a}, Re\{s\} > -a$$

$$-e^{-at} u(-t) \stackrel{\mathcal{L}}{↔} \frac{1}{s+a}, Re\{s\} < -a$$

两者的区别在于收敛域不同

$$X(s) = \frac{2s + 3}{(s+1)(s+2)}, Re\{s\} > -1$$

可以画出其极点、零点和收敛域：

更一般的，对于 $X(s) = \frac{N(s)}{D(s)}$

• $N(s) = 0$，$X(s)$ 的零点 zero
• $D(s) = 0$，$X(s)$ 的极点 pole

$X(s)$ 的收敛域由 s 平面中平行于 $jω$ 轴的条纹组成

$\mathcal{F}(x(t))$ 收敛 <=> 收敛域包括 s 平面上的 $jω$ 轴

收敛域一定是一个连通域

• 对于有限长度的信号，收敛域是整个 s 平面
• 右侧时间函数，$Re\{s\} = σ_o$ 在收敛域内，则所有 $Re\{s\} > σ_o$ 在收敛域内
• 左侧则是小于
• $x(t)$ 是左侧函数且 $X(s)$ 有理，则收敛域在最左边的极点的左侧
• $x(t)$ 两侧且存在一个点位于收敛域内，则收敛域是 s 平面的一条

连续时间二阶系统 Continuous-Time Second-Order Systems

如果一个系统是稳定且因果的，则所有的极点都在 s 平面的左半部分

拉普拉斯变换也可以应用于线性常系数微分方程，但一个方程只能得到代数表达式，还需要通过系统的信息，如稳定性、因果性等确定收敛域

二阶系统：

$$H(s) = \frac{ω_n^2}{s^2 + s ζω_n s + ω_n^2} = \frac{ω_n^2}{(s-c_1)(s-c_2)}$$

其中当 $ζ >= 1$ 时，

$$c_1 = -ζ ω_n + ω_n \sqrt{ζ^2 - 1}$$

$$c_1 = -ζ ω_n - ω_n \sqrt{ζ^2 - 1}$$

对于 $ζ < 1$，

$$c_1 = c_2^* = -ζ ω_n + jω_n \sqrt{1 - ζ^2}$$

在频域图像中，当点沿着 $jω$ 轴移动时，$|H(S)|$ 会出现谐振 resonance 现象：

两个极点离实轴越近，谐振越明显；离虚轴越近，谐振越窄

Z 变换 The z-Transform

与连续时间类似，在离散时间上，还有一个特征函数 $Z^n$，故 z 变换：

$$X(z) = \sum_{n=-∞}^{+∞} x[n] z^{-n}$$

其中 $z = re^{jΩ}$

因此当 $r=1$ 时，z 变换和傅里叶变换相同，即

$$X(e^{jΩ}) = \mathcal{F}(x[n])$$

当然，这次又要改变记号了：$\mathcal{F}(x[n]) = X(e^{jΩ})$

反过来的关系就是：

$$X(z) = \mathcal{F}(x[n]r^{-n})$$

同样，z 变换也要关注收敛域：

$$a^n u[n] \stackrel{\mathcal{Z}}{↔} \frac{1}{1-az^{-1}}, |z| > |a|$$

$$-a^n u[-n-1] \stackrel{\mathcal{Z}}{↔} \frac{1}{1-az^{-1}}, |z| < |a|$$

傅里叶变换对于 z 平面上的一个单位圆：

类似于之前的，收敛域会呈现为连在一起的圆环

同样能观察到谐振，只是有了周期性：

连续时间滤波器到离散时间滤波器的映射 Mapping Continuous-Time Filters to Discrete-Time Filters

• 稳定性 <=> 收敛域包括单位圆
• 因果性 <=> 收敛域在最外边的极点之外

z 变换的性质：

• 线性
• 时移：$x[n-n_0] = z^{n_0} X(z)$
• 卷积

连续时间滤波器到离散时间滤波器的映射的要求：

• $H_c(s) → H_d(z)$
• $h_c(t) → h_d[n]$
• $jω$ 轴 -> 单位圆
• 稳定 -> 稳定

考虑最简单的：后向差分：

$$\frac{\mathrm{d}y(t)}{\mathrm{d}t} → \frac{y[n] - y[n-1]}{T}$$

则有 $sY(s) → \frac{1-z^{-1}}{T} Y(z)$，得到 $s = \frac{1-z^{-1}}{T}$

前向差分同理

注意到虚轴并没有很好地映射到单位圆上

脉冲响应不变法：

$$h_d[n] = h_c(nT)$$

$$H_d(e^{jΩ}) = \frac{1}{T} \sum_{k=-∞}^{+∞} H_c[j(\frac Ω T - \frac{2π k}{T})]$$

$s=s_k$ 处的极点 => $z=e^{s_kT}$ 处的极点

系数 $A_k$ 保留

巴特沃斯滤波器 Butterworth Filters

巴特沃斯滤波器：

$$|B(jω)|^2 = \frac{1}{1+(jω/jω_c)^{2N}}$$

$B(s)B(-s)$ 的极点为 $s = (-1)^{\frac{1}{2N}} jω_c$

因为滤波器是稳定的，故 $B(s)$ 的极点在左半边

要设计的离散时间滤波器的规格：

• 采样频率为 $10kHz$
• $20\log_{10} |H_c(jω)| ≥ -1, ω = 2π ⋅ 1 kHz$
• $20\log_{10} |H_c(jω)| ≤ -15, ω = 2π ⋅ 1.5 kHz$

使用脉冲响应不变法：

• $10kHz → 2π$
• $1kHz → 0.2π$
• $1.5kHz → 0.3π$

故有

• $20\log_{10} |H_d(e^{jΩ})| ≥ -1, Ω= 0.2π$
• $20\log_{10} |H_d(e^{jΩ})| ≤ -15, Ω= 0.3π$

这里选择 $T=1$ ，其实 T 可以随便选

• $20\log_{10} |B(j0.2π)| ≥ -1$
• $20\log_{10} |B(j0.3π)| ≤ -15$

代入后解得 $N=5.88, ω_c = 0.7047$，这里为了减小混叠的影响，选择准确的通带，稍微超出阻带，故向上取整，$N=6, ω_c = 0.703$

双线性变换法：

$$H_c(s) → H_d (z)$$

$$s = \frac{2}{T} \frac{1-z^{-1}}{1+z^{-1}}$$

$$z = \frac{1+(T/2)s}{1-(T/2)s}$$

核心思想是将微分方程转化为积分方程，然后使用梯形近似

对于单位圆，即 $z = e^{jΩ}$，有

$$s = \frac{2}{T}j\tan \frac{Ω}{2} = jω$$

$$ω = \frac 2T \tan \frac Ω 2$$

这是非线性映射（即越远离原点，移动速度越快），所以会有非线性失真

反馈 Feedback

平衡小车：

可以考虑引入反馈：

对于连续情况，可以将反馈信号转化为离散信号，用离散系统（计算机）处理，再变换回连续

同样的系统也可以视为离散的：

研究一个反馈系统：

得到

$$Q(s) = \frac{Y(s)}{X(s)} = \frac{H(s)}{1+G(s)H(s)}$$

离散时间同理

放大器设计：

如果 $|kH(jω)| >> 1$，则 $Q(jω) = \frac 1k$

**逆系统：**求 $P(s)$ 的逆系统

如果 $kP(s) >> 1$，则 $Q(s) = \frac {1}{P(s)}$

稳定不稳定的系统：

$$1 + G(s)H(s) = 0$$

故稳定性 <=> $s_i$ 的实部 $< 0$

有的反馈可能会使原来稳定的系统变得不稳定，例如一些正反馈

反馈举例：倒立摆 Feedback Example: The Inverted Pendulum

尝试比例反馈：

$$a(t) = K_1 θ(t)$$

发现不可行

再尝试微分反馈：

$$a(t) = K_2 \frac{\mathrm{d}θ(t)}{\mathrm{d}t}$$

发现也不可行

两者结合，终于可行了

Anything you study is not really to cover a subject, but to uncover the subject.