一阶常微分方程
形如:
y′=f(x,y)
方向场(作图法)
在平面上取一些点,画短斜线(线素),斜率 = f(x,y),积分曲线(常微分方程的解)为穿过平面每一处与线素相切的曲线。
计算机实现方法
- 等距取一些点 (x,y)
- 计算各点斜率 f(x,y)
- 画出线素
人类做法
- 取某个固定的斜率 C
- 作出 f(x,y)=C 的等值线
- 画出等斜线上一些线素
存在性与唯一性定理
f(x,y) 必须是连续函数(存在性),其对 y 的偏导连续(唯一性)
欧拉法
初值问题:
{y′=f(x,y)y(x0)=y0
公式如下:
{xn+1=xn+hyn+1=yn+hAn其中:An=f(xn,yn)h为取点间隔
下面是几种优化方法:
缩短步长
误差 e∼c1h
RK2
{xn+1=xn+hyn+1=yn+h(2An+Bn)其中:An=f(xn,yn)Bn=f(xn+1,y~n+1)y~n+1=yn+hAn
误差分析:e∼c2h2
精度提高的代价是计算量增大。
一阶线性常微分方程
形式:
a(x)y′+b(x)y=c(x)
标准形式:
y′+p(x)y=q(x)
积分因子法求解
两边同乘 u=e∫pdx,将等式左边凑成某函数的导数。
几个模型
温度——浓度模型
混合模型
放射性衰变、银行存款
某些运动模型
传导——扩散模型(温度——浓度模型)
dtdT=k(Te−T),k>0,T(0)=T0
同乘 ekt,得到
T=e−kt∫kTe(t)ektdt+ce−kt,c=T0,k>0
当 t→∞,ce−kt→0,从长远来看,与初始状态无关,前面剩下来的部分称为“稳态解”
换元法
缩放:x1=ax,y1=by
好处:
- 改变单位
- 使变量无纲量化(不带单位)
- 减少或简化常数
两种变量代换方法:
直接法:旧变量 = 新变量
逆代换:旧变量 = 新变量和另外的旧变量
伯努利方程
y′=p(x)y+q(x)yn(n=0)
令 V=yn−11(直接代换),可得 1−nV′=p(x)V+q(x),转化为了线性方程
一阶齐次常微分方程
y′=F(xy)
注:“齐次”指某方程对缩放
不变
方法:令 z=xy,将 y=zx 代入(逆代换),可得
xdxdz=F(z)−z
一阶自治方程
dtdy=f(y),f(y)中不含 t
分析其解的性质
若 f(y0)=0,则 y=y0 是方程的一个解$$
若 f(y)>0,则 dtdy=f(y)>0,即解函数递增
银行存款模型
dtdy=ry−w
r 是利率,w 是被偷走的钱
复数和复指数
欧拉公式
eiθ=cosθ+isinθ
逆用:
cos(θ)=2eiθ+e−iθ
sin(θ)=2ieiθ−e−iθ
指数性质:
- eiθ1⋅eiθ2=ei(θ1+θ2)
- dtdeiθ=ieiθ
- 无穷级数(泰勒公式)
极坐标
ea+ib=reiθ
r 为 α 的模,θ 为 α 的夹角
其乘法满足“模长相乘,角度相加”的法则
积分的复化
∫e−xcosxdx=∫e(−1+i)xdx 的实部
一阶常系数线性方程
y′+ky=kq(t)
“输入——响应”模型:
输入:q(t)
响应:y(t)(微分方程的解)
y=e−kt∫q(t)ektdt+ce−kt
当 k>0 时,有稳态解
若 q(t)=cos(ωt),则 y=1+(kω)21cos(ωt−ϕ),ϕ=arctan(kω)(相位差),k为传导率>0
若 k 增大,振幅 A 增大,相位差 ϕ 减小
二阶线性方程
二阶常系数齐次线性方程
y′′+Ay′+By=0
其解 y=c1y1+c2y2
解法:
令 y=ert,得到 r2+Ar+B=0
有三种情况:
- 方程根 r1,r2 为实数,且 r1=r2,则 y=c1ert1+c2ert2
- 根为复数,r=a±bi,则 y=e(a+bi)t
- 方程有两个相同的根(重根),第二个解 y2=uert
当所有特征根有负实部时,有稳态解
振荡模型
y′′+2py′+ω02y=0
ω 为固有的振荡频率,p 与阻尼有关
无阻尼
若 p=0,即“无阻尼”的情况,则方程简化为:
y′′+ω02y=0
解得:
y=c1cosω0t+c2cosω0t=Acos(ω0t−ϕ)
欠阻尼
若 p<ω0,即“欠阻尼”的情况,则解得:
y=e−ptAcos(ω1t−ϕ)
其中 p=2mc,ω1=ω02−p2,A 和 ϕ 取决于初始情况
二阶齐次线性方程相关理论
y′′+p(x)y′+q(x)y=0
线性算子
用 D 表示求导,可记作:
(D2+pD+q)y=0
其中 L=D2+pD+q 是线性算子
朗斯基行列式
W(f1,⋯,fn)=∣∣∣∣∣∣∣∣f1⋮f1(n−1)⋯⋱⋯fn⋮fn(n−1)∣∣∣∣∣∣∣∣
对于二阶齐次线性微分方程而言,其两个解只能满足两种情况之一:
- W(y1,y2)≡0
- W(y_1,y_2) \nequiv 0
正交化
要求满足 {Y1=1Y1′=0Y2=0Y2′=1
若 Y1,Y2 正交,则其初值问题的解为 y0Y1+y0′Y2,其中 y(0)=y0,y′(0)=y0′
二阶非齐次线性方程
y′′+p(x)y′+q(x)y=f(x)
f(x) 为输入,y(x) 为响应
其解的结构为“特解”+“通解”,表示如下:
y=yp+c1y1+c2y2
输入为指数函数或三角函数时
p(D)y=eαx
p(D) 为关于 D 的多项式
特解为:
yp=p(α)eαx,p(α)=0
若 p(α)=0,则指数移位法则 p(D)eaxu(x)=eaxp(D+a)u(x),得到
yp=p′(α)xeα,p′(α)=0
以此类推,类似于把 α 视为变量的洛必达法则。
傅里叶级数
f(t)=2a0+n=1∑∞ancosnt+bnsinntan=π1∫−ππf(t)cosntdtbn=π1∫−ππf(t)sinntdt
简化
若 f(x) 是偶函数,则
f(t)=2a0+n=1∑∞ancosntan=π2∫0πf(t)cosntdt
若 f(x) 是奇函数,则
f(t)=n=1∑∞bnsinntbn=π2∫0πf(t)sinntdt
实质
泰勒级数在一点处逼近函数,傅里叶级数在一段区间上逼近函数。
周期扩展
若周期不是 2π,而是更一般的 2L,则
f(t)=2a0+n=1∑∞ancosnt+bnsinntan=L1∫−LLf(t)cosntdtbn=L1∫−LLf(t)sinntdt
非周期函数
运用奇变换或偶变换,转化为周期函数
利用傅里叶级数求特解
若
f(t)=2a0+n=1∑∞ancosωnt+bnsinωnt
则
xp=2ω02a0+n=1∑∞ωn2−ω2ancosωnt+ωn2−ω2bnsinωnt
拉普拉斯变换
∫0∞f(t)e−stdt=F(s),s>0
“算子”不改变变量:f(t)→g(t)
“变换”改变变量:f(t)→F(s)
基本公式
拉普拉斯变换是线性的
L(1)=s1,s>0
L(eatf(t))=L(f(s−a)),s>a
L(sinat)=s2+a2a
L(cosat)=s2+a2s
L(tn)=sn+1n!
适用条件
f(t) 是“指数型”,即
对于所有 t>0,总存在 k>0,使得
∣f(t)∣≤cekt
用拉普拉斯变换求解线性常微分方程
初值问题:
y′′+Ay′+By=h(t),y(0)=y0,y′(0)=y0′
第一步:对两边进行拉普拉斯变换
L(f′(t))=sF(s)−f(0)
迭代得到
L(f′′(t))=s2F(s)−sf(0)−f′(0)
Y=q(s)p(s)
第二步:对 Y(s) 进行拉普拉斯逆变换
y(t)=L−1(Y(s))
卷积公式
f(t)∗g(t)=∫0tf(u)g(t−u)dt
卷积定义
L(f∗g)=F(s)G(S)
所以 f∗g=g∗f
卷积意义
每日倾倒垃圾 f(t),垃圾减少的函数为 e−kt,则 t 时间后剩余 f(t)∗e−kt
拉普拉斯变换处理不连续函数
单位阶跃函数
u(t)={01t<0t>0
uab(t)=u(t−a)−u(t−b)
t 轴平移公式
因为对于 s<0 时,多个函数对应同一个拉普拉斯变换,所以要将函数乘以一个 u(t),截掉 t<0 的部分。
L(u(t−a)f(t−a))=e−asL(f(t))
常用的变形为:
L(u(t−a)f(t))=e−asL(f(t+a))
狄拉克函数
其意义为一瞬间的脉冲,表达式为:
δ(t)=h→0limh1u0h(t)
L(δ(t))=1
传递函数
对于系统:
y′′+ay′+by=f(t)
其解:
y(t)=f(t)∗s2+as+b1
其中的 s2+as+b1 只与系统有关,称之为“传递函数”或“加权函数”,记作 W(s) 或 H(s),本质是在 0 时刻系统受到单位冲量后的响应。
常微分方程组
{x′=f(x,y,t)y′=g(x,y,t)
常系数齐次线性方程组
{x′=ax+byy′=cx+dy
初值问题:
x(t0)=x0,y(t0)=y0
消元法
若题目为:
{T1′=−2T1+2T2T2′=2T1−5T2
第一步:用 T1 表示 T2:
T2=2T1′+2T1
第二步:代入得到二阶方程:
T1′′+7T1′+6T1=0
第三步:解得:
T1=c1e−t+c2e−6t
第四步:回代得到T2:
T2=21c1e−t−2c2e−6t
(第五步:代入初值,解c1,c2)
几何意义
{x′=f(x,y)y′=g(x,y)
方程组表示向量场,解为向量场的积分曲线
矩阵方法
方程组可以写成:
x′=Ax
则解为:αeλt 的线性组合,α 为 A 的特征向量,λ 为相应的特征值
-
特征方程有重根:若 λ 重复,但有时仍可以找到足够数量的特征向量来构造解(如果矩阵是对称的)
-
复根:只使用共轭复数其中的一个即可
矩阵指数
对于 x′=ax,易得 x=ceat
类比对于 x′=Ax,可得 X=eAt
初值问题:x(0)=x0,解为 x=eAtx0
特别的,对于矩阵而言,eA+B=eAeB,当且仅当 AB=BA 时成立,其一般存在以下三种情况:
- A=cI
- B=−A
- B=A−1
eAt 的计算方法:
-
指数级数:eAt=I+At+2!A2t2+3!A3t3+⋯
-
对角化:eAt=SeΛtS−1
-
X⋅X(0)−1=eAt
方程组解耦
详细的解释见线性代数
将方程组转化为:
{u′=λ1uv′=λ2v
其中:
{u=ax+byv=cx+dy
使用条件:方程特征值必须为实数且必须完备
与二阶齐次线性方程的关系
y′′+by′+ky=0
令
u=[y′y],u′=[−b1−k0]u
常系数非齐次线性方程组
x′=Ax+r(t)
线性方程组的解 = 通解 + 特解
记 X=[x1x2], x1,x2 是常系数齐次线性方程组的线性无关解
X 有以下性质:
- ∣X∣=0 恒成立
- X′=AX
xp=X∫X−1rdt
非线性自治方程组及作图
{x′=f(x,y)y′=g(x,y)
临界点
{f(x0,y0)=0g(x0,y0)=0
使用线性近似或雅可比矩阵将 (x0,y0) 处转化为线性方程,求解该点处的图像性质(鞍部、螺旋、圆、汇点)
极限环
一段相互靠近的曲线
寻找方法:
-
本迪克松准则:在区域 D 内散度均不为 0,则曲线在改该区域内无极限环
-
临界点准则:在 D 内无临界点,则无极限环
非线性方程组与一阶方程的关系
{dtdx=f(x,y)dtdy=g(x,y)
可转化为:
y′=f(x,y)g(x,y)
但只有曲线,没有向量大小。