多变量微积分（积分部分）
线积分
标量函数的线积分
ds=d2x+d2y\mathrm{d}s=\sqrt{\mathrm{d}^2x+\mathrm{d}^2y}
ds=d2x+d2y
方法一：若已知 y=f(x)y=f(x)y=f(x)，用 f′(x)dxf^{\prime}(x)\mathrm{d}xf′(x)dx 替换 dy\mathrm{d}ydy，然后将 dx\mathrm{d}xdx 分解出来，积分的边界值将是曲线的最左边和最右边的 xxx 值，即
ds=1+f′2(x)dx\mathrm{d}s=\sqrt{1+f^{\prime 2}(x)}\mathrm{d}x
ds=1+f′2(x)dx
方法二：参数化
使用 xxx 和 yyy 作为 ttt 函数，取这两个函数的导数来获得以 dt\mathrm{d}tdt 表达的 dx\mathrm{d}xdx 和 dy\mathrm{d}ydy，即
ds=(dxdt)2+(dydt)2dt\mathrm{d}s=\sqrt{(\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t})^2+(\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm ...
多变量微积分（微分部分）
一个 多元函数 指的是输入或输出由多个数字组成。相反，如果一个函数的输入和输出都是单个数字，那么我们称之为 一元函数。
如果一个函数的输出是向量，我们称之为 向量值函数；而输出是一个单个数字的函数，它或者被称为 标量值 函数，或者被称为 实值 函数，这通常在理论数学中比较常见(实是实数的意思)
可视化
多维图形
我们可以在三维空间中绘制点来表示一个具有二维输入和一维输出的函数。
它最终看起来像一个三维的面, 这个面在 xy−xy-xy− 平面以上的高度表示每个点上的函数值。
例: 钟形曲线
函数：f(x,y)=e−(x2+y2)f(x,y)=e^{-(x^2+y^2)}f(x,y)=e−(x2+y2)
图：
等高线地图
选择一组输出值来描述函数，对这些输出值中的每一个，画出一条线，这条线包含且仅包含所有函数值 f(x,y)f(x,y)f(x,y)为输出值的输入值(x,y)(x,y)(x,y)。为了清楚地知道哪条线对应哪个值, 人们通常在每条线旁标注适当的数字.
例：抛物面
函数：f(x,y)=x2+y2f(x,y)=x^2+y^2f(x,y)=x2+y2
图：
参数曲线
具有一维输入和 ...